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1、高等数学第一章函数与极限试题一.选择题1.设F(x)是连续函数f(x)的一个原函数，表示“M的充分必要条件是N”，则必有（A）F(x)是偶函数f(x)是奇函数.（B）F(x)是奇函数f(x)是偶函数.（C）F(x)是周期函数f(x)是周期函数.（D）F(x)是单调函数f(x)是单调函数2．设函数则（A）x=0,x=1都是f(x)的第一类间断点.（B）x=0,x=1都是f(x)的第二类间断点（C）x=0是f(x)的第一类间断点，x=1是f(x)的第二类间断点.（D）x=0是f(x)的第二类间断点，x
2、=1是f(x)的第一类间断点.3．设(x)=，x≠0,1,则[]=()A）1－xB）C）D）x4．下列各式正确的是()A）=1B）=eC）=-eD）=e5．已知，则()。A.1；B.；C.；D.。6．极限：()A.1；B.；C.；D.7．极限：=（）A.1；B.；C.0；D.2．8．极限：=（）A.0；B.；C；D.2．9.极限：=（）A.0；B.；C.2；D.．10．极限:=（）A.0；B.；C.；D.16．二.填空题11．极限=.12.=_______________.13.若在点连续，则=_
3、______________；14.___________；15._________________；16.若函数，则它的间断点是___________________17.绝对值函数其定义域是,值域是18.符号函数其定义域是，值域是三个点的集合19.无穷小量是20.函数在点x0连续，要求函数y=f(x)满足的三个条件是三.计算题21.求22.设f(e)=3x-2,求f(x)(其中x>0);23.求(3－x);24.求();25.求26.已知，求的值；27.计算极限28.求它的定义域。29.判断下
4、列函数是否为同一函数：⑴ f(x)＝sin2x＋cos2xg(x)＝1⑵⑶ ⑷⑸y＝ax2s＝at230.已知函数f(x)＝x2-1，求f(x+1)、f(f(x))、f(f(3)+2)31.求32.求33.求34.求35.判断下列函数在指定点的是否存在极限⑴⑵36.37.38. 39.求当x→∞时，下列函数的极限 40.求当x→∞时，下列函数的极限41.41.42.43.44.45.46.47.48.研究函数在指定点的连续性x0＝049.指出下列函数在指定点是否间断，如果间断，指出是哪类间
5、断点。,x＝150.指出下列函数在指定点是否间断，如果间断，指出是哪类间断点。，x＝０51.指出下列函数在指定点是否间断，如果间断，指出是哪类间断点。，x＝０52.证明f(x)＝x2是连续函数53.54.55.试证方程2x3－3x2＋2x－3＝0在区间[1,2]至少有一根56.57.试证正弦函数y=sinx在(-∞,+∞)内连续。58.函数f(x)=çxç=在点x=0处是否连续？59.函数=是否在点连续？60.求极限.答案：一.选择题1.A【分析】本题可直接推证，但最简便的方法还是通过反例用排除法
6、找到答案.【详解】方法一：任一原函数可表示为，且当F(x)为偶函数时，有，于是，即，也即，可见f(x)为奇函数；反过来，若f(x)为奇函数，则为偶函数，从而为偶函数，可见(A)为正确选项.方法二：令f(x)=1,则取F(x)=x+1,排除(B)、(C);令f(x)=x,则取F(x)=,排除(D);故应选(A).【评注】函数f(x)与其原函数F(x)的奇偶性、周期性和单调性已多次考查过.请读者思考f(x)与其原函数F(x)的有界性之间有何关系?2.D【分析】显然x=0,x=1为间断点，其分类主要考虑
7、左右极限.【详解】由于函数f(x)在x=0,x=1点处无定义，因此是间断点.且，所以x=0为第二类间断点；，，所以x=1为第一类间断点，故应选(D).【评注】应特别注意：，从而，3C4A5C67A8∵x→∞时，分母极限为令，不能直接用商的极限法则。先恒等变形，将函数“有理化”：原式=.（有理化法）9D10解原式.▌错误！注等价无穷小替换仅适用于求乘积或商的极限，不能在代数和的情形中使用。如上例中若对分子的每项作等价替换，则原式.二.填空题11.212.113.014.515.16.17.18.19
8、.在某一极限过程中，以0为极限的变量，称为该极限过程中的无穷小量20.①函数y=f(x)在点x0有定义；②x→x0时极限存在；③极限值与函数值相等，即三.计算题21.【分析】型未定式，一般先通分，再用罗必塔法则.【详解】===22.(x)=3lnx+1x＞023.24.25.26.;27.328.解：由x＋2≥０解得x≥-2由x－１≠０解得x≠１由5－２x＞０解得x＜2.5函数的定义域为｛x｜2.5＞x≥-2且x≠1｝或表示为（2.5,1）∪（1,-2）29.⑴、⑸是同一函数，因为
