2019-2020年高考数学二轮复习上篇专题整合突破专题二三角函数与平面向量第3讲平面向量练习

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1、2019-2020年高考数学二轮复习上篇专题整合突破专题二三角函数与平面向量第3讲平面向量练习一、填空题1.设向量a，b满足

2、a＋b

3、＝，

4、a－b

5、＝，则a·b＝________.解析　由

6、a＋b

7、＝得

8、a＋b

9、2＝10，即a2＋2a·b＋b2＝10，①又

10、a－b

11、＝，所以a2－2a·b＋b2＝6，②由①－②得4a·b＝4，则a·b＝1.答案　12.(xx·北京卷)在△ABC中，点M，N满足＝2，＝.若＝x＋y，则x＝__________；y＝__________.解析　＝＋＝＋＝＋(－)＝－，∴x＝，y＝－.答案　　－3.

12、已知A，B，C为圆O上的三点，若＝(＋)，则与的夹角为________.解析　由＝(＋)，可得O为BC的中点，故BC为圆O的直径，所以与的夹角为90°.答案　90°4.已知O是平面上的一定点，A，B，C是平面上不共线的三个动点，若动点P满足＝＋λ(＋)，λ∈(0，＋∞)，则点P的轨迹一定通过△ABC的________(填重心、垂心、内心或外心).解析　由已知，得－＝λ(＋)，即＝λ(＋)，根据平行四边形法则，设△ABC中BC边的中点为D，知＋＝2，所以点P的轨迹必过△ABC的重心.故填重心.答案　重心5.已知a，b均为单位向

13、量，(2a＋b)·(a－2b)＝－，则向量a，b的夹角为________.解析　因为a，b均为单位向量，所以(2a＋b)·(a－2b)＝2－2－3a·b＝－，解得a·b＝，所以cos〈a，b〉＝＝，又〈a，b〉∈[0，π]，所以〈a，b〉＝.答案　6.(xx·江苏卷)如图，在平行四边形ABCD中，已知AB＝8，AD＝5，＝3，·＝2，则·的值是________.解析　由题图可得，＝＋＝＋，＝＋＝＋＝－.∴·＝·＝2－·－2＝2，故有2＝25－·－×64，解得·＝22.答案　227.△ABC是边长为2的等边三角形，已知向量a，

14、b满足＝2a，＝2a＋b，则下列结论中正确的是________(写出所有正确结论的编号).①a为单位向量；②b为单位向量；③a⊥b；④b∥；⑤(4a＋b)⊥.解析　∵2＝4

15、a

16、2＝4，∴

17、a

18、＝1，故①正确；∵＝－＝(2a＋b)－2a＝b，又△ABC为等边三角形，∴

19、

20、＝

21、b

22、＝2，故②错误；∵b＝－，∴a·b＝·(－)＝×2×2×cos60°－×2×2＝－1≠0，故③错误；∵＝b，故④正确；∵(＋)·(－)＝2－2＝4－4＝0，∴(4a＋b)⊥，故⑤正确.答案　①④⑤8.(xx·淮安月考)如图，在△ABC中，C＝90°，

23、且AC＝BC＝3，点M满足＝2，则·＝________.解析　法一　如图，建立平面直角坐标系.由题意知：A(3，0)，B(0，3)，设M(x，y)，由＝2，得解得即M点坐标为(2，1)，所以·＝(2，1)·(0，3)＝3.法二　·＝(＋)·＝2＋·＝2＋·(－)＝2＝3.答案　3二、解答题9.已知向量a＝，b＝，且x∈.(1)求a·b及

24、a＋b

25、；(2)若f(x)＝a·b－2λ

26、a＋b

27、的最小值是－，求λ的值.解　(1)a·b＝coscos－sinsin＝cos2x，

28、a＋b

29、＝＝＝2，因为x∈，所以cosx≥0，所以

30、a＋

31、b

32、＝2cosx.(2)由(1)，可得f(x)＝a·b－2λ

33、a＋b

34、＝cos2x－4λcosx，即f(x)＝2(cosx－λ)2－1－2λ2.因为x∈，所以0≤cosx≤1.①当λ＜0时，当且仅当cosx＝0时，f(x)取得最小值－1，这与已知矛盾；②当0≤λ≤1时，当且仅当cosx＝λ时，f(x)取得最小值－1－2λ2，由已知得－1－2λ2＝－，解得λ＝；③当λ＞1时，当且仅当cosx＝1时，f(x)取得最小值1－4λ，由已知得1－4λ＝－，解得λ＝，这与λ＞1相矛盾.综上所述λ＝.10.设向量a＝(sinx，sinx)

35、，b＝(cosx，sinx)，x∈.(1)若

36、a

37、＝

38、b

39、，求x的值；(2)设函数f(x)＝a·b，求f(x)的最大值.解　(1)由

40、a

41、2＝(sinx)2＋(sinx)2＝4sin2x，

42、b

43、2＝(cosx)2＋(sinx)2＝1，及

44、a

45、＝

46、b

47、，得4sin2x＝1.又x∈，从而sinx＝，所以x＝.(2)f(x)＝a·b＝sinx·cosx＋sin2x＝sin2x－cos2x＋＝sin＋，当x＝∈时，sin取最大值1.所以f(x)的最大值为.11.(xx·南师附中调研)△ABC的内角A，B，C所对的边分别为a，b，c.

48、向量m＝(a，b)与n＝(cosA，sinB)平行.(1)求A；(2)若a＝，b＝2，求△ABC的面积.解　(1)因为m∥n，所以asinB－bcosA＝0，由正弦定理，得sinAsinB－sinBcosA＝0，又sinB≠0，从而tanA＝，由于0＜A＜π，所以A＝.(2)法一　由余弦定