课标通用高考数学一轮复习第七章不等式7.3基本均值不等式及应用学案理

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1、§7.3　基本(均值)不等式及应用考纲展示►　1.了解基本(均值)不等式的证明过程．2．会用基本(均值)不等式解决简单的最大(小)值问题．考点1　利用基本(均值)不等式求最值1.基本(均值)不等式≤(1)基本(均值)不等式成立的条件：________.(2)等号成立的条件：当且仅当________时等号成立．答案：(1)a>0，b>0　(2)a＝b2．几个重要的不等式(1)a2＋b2≥________(a，b∈R)．(2)＋≥________(a，b同号)．(3)ab≤2(a，b∈R)．(4)≥2(a，b∈R)．答案：(1)2ab　(2)23．算术平均数与几何平均数设a>0，

2、b>0，则a，b的算术平均数为，几何平均数为，基本(均值)不等式可叙述为：________________________________.答案：两个正数的算术平均数不小于它们的几何平均数4．利用基本(均值)不等式求最值问题已知x>0，y>0，则(1)如果积xy是定值p，那么当且仅当________时，x＋y有最________值是2.(简记：积定和最小)(2)如果和x＋y是定值p，那么当且仅当________时，xy有最________值是.(简记：和定积最大)答案：(1)x＝y　小　(2)x＝y　大-15-1.基本不等式的两个易错点：忽视不等式成立的条件；忽视等号成立的条

3、件．(1)函数y＝x＋在区间(0，＋∞)上的最小值是________，在区间(－∞，0)上的最大值是________．答案：2　－2解析：当x>0时，y＝x＋≥2＝2，当且仅当x＝，即x＝1时取等号，故y的最小值为2.当x<0时，－x>0，y＝x＋＝－≤－2＝－2，当且仅当－x＝－，即x＝－1时取等号，故y的最大值为－2.(2)函数y＝sinx＋，x∈的最小值为________．答案：5解析：y＝sinx＋≥2＝4，当sinx＝时，sinx＝±2，显然取不到等号．事实上，设t＝sinx，x∈，则t∈(0,1]，易知y＝t＋在(0,1]上为减函数，故当t＝1时，y取得最小值5.

4、2．应用基本不等式的技巧：凑；拆．(1)已知01，则x＋的最小值为________．答案：5解析：x＋＝x－1＋＋1≥4＋1＝5，当且仅当x－1＝，即x＝3时，等号成立.利用基本不等式确定最值的两种常见类型：代换变形；变量是负数．(1)已知a>0，b>0，a＋b＝2，则y＝＋的最小值是________．答案：解析：∵a＋b＝2，∴＝1，∴＋＝＝＋≥＋2＝.故y＝＋的最小值为.(2)已知0

5、1，则y＝lgx＋的最大值是________．答案：－4解析：∵00，∴－y＝－lgx＋≥2＝4，当且仅当－lgx＝，即x＝时，等号成立，故ymax＝－4.-15-[考情聚焦]　利用基本(均值)不等式求最值，一般是已知两个非负数的和为定值求其乘积的最大值，或已知两个非负数的乘积为定积求其和的最小值，是每年高考的重点内容．主要有以下几个命题角度：角度一通过配凑法利用基本(均值)不等式求最值[典题1]　(1)已知0

6、1－x)≤32＝.当且仅当x＝1－x，即x＝时等号成立．(2)已知x＜，求f(x)＝4x－2＋的最大值．[解]　因为x＜，所以5－4x＞0，则f(x)＝4x－2＋＝－＋3≤－2＋3＝1.当且仅当5－4x＝，即x＝1时等号成立．故f(x)＝4x－2＋的最大值为1.(3)已知x为正实数且x2＋＝1，求x的最大值．[解]　因为x＞0，所以x＝≤.又x2＋＝＋＝，-15-所以x≤＝，即(x)max＝.(4)求函数y＝的最大值．[解]　令t＝≥0，则x＝t2＋1，所以y＝＝.当t＝0，即x＝1时，y＝0；当t＞0，即x＞1时，y＝，因为t＋≥2＝4，当且仅当t＝2时等号成立，所以y＝≤

7、，即y的最大值为(当t＝2，即x＝5时y取得最大值)．[点石成金]　1.利用基本(均值)不等式解题一定要注意应用的前提：“一正”“二定”“三相等”．所谓“一正”是指正数，“二定”是指应用基本(均值)不等式求最值时，和或积为定值，“三相等”是指满足等号成立的条件．2．在利用基本(均值)不等式求最值时，要根据式子的特征灵活变形，配凑出积、和为常数的形式，然后再利用基本(均值)不等式．角度二通过常数代换法利用基本(均值)不等式求最值[典题2]　已知a＞0，b＞0，a＋b＝1，则＋的最小值为________．[