浙江高考数学总复习第二章与数1第4讲幂函数与二次函数学案

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1、第4讲 幂函数与二次函数最新考纲 1.了解幂函数的概念;掌握幂函数y=x,y=x2,y=x3,y=x,y=的图象和性质;2.理解二次函数的图象和性质,能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.知识梳理1.幂函数(1)幂函数的定义一般地,形如y=xα的函数称为幂函数,其中x是自变量,α为常数.(2)常见的5种幂函数的图象(3)常见的5种幂函数的性质函数特征性质y=xy=x2y=x3y=xy=x-1定义域RRR[0,+∞){x

2、x∈R,且x≠0}值域R[0,+∞)R[0,+∞){y

3、y∈R,且y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇2.二次函数(1)二次函数

4、解析式的三种形式:一般式:f(x)=ax2+bx+c(a≠0).顶点式:f(x)=a(x-m)2+n(a≠0),顶点坐标为(m,n).零点式:f(x)=a(x-x1)(x-x2)(a≠0),x1,x2为f(x)的零点.(2)二次函数的图象和性质解析式f(x)=ax2+bx+c(a>0)f(x)=ax2+bx+c(a<0)-8-图象定义域(-∞,+∞)(-∞,+∞)值域单调性在上单调递减;在上单调递增在上单调递增;在上单调递减对称性函数的图象关于x=-对称诊断自测1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)函数y=2x是幂函数.(  )(2)当n>0时

5、,幂函数y=xn在(0,+∞)上是增函数.(  )(3)二次函数y=ax2+bx+c(x∈R)不可能是偶函数.(  )(4)二次函数y=ax2+bx+c(x∈[a,b])的最值一定是.(  ) 解析 (1)由于幂函数的解析式为f(x)=xα,故y=2x不是幂函数,(1)错.(3)由于当b=0时,y=ax2+bx+c=ax2+c为偶函数,故(3)错.(4)对称轴x=-,当-小于a或大于b时,最值不是,故(4)错.答案 (1)× (2)√ (3)× (4)×2.(2016·全国Ⅲ卷)已知a=2,b=3,c=25,则(  )A.b

6、a>b.答案 A3.已知f(x)=x2+px+q满足f(1)=f(2)=0,则f(-1)的值是(  )A.5B.-5C.6D.-6解析 由f(1)=f(2)=0知方程x2+px+q=0的两根分别为1,2,则p=-3,q=2,∴f(x)=-8-x2-3x+2,∴f(-1)=6.答案 C4.(2017·杭州测试)若函数f(x)是幂函数,则f(1)=________,若满足f(4)=8f(2),则f=________.解析 由题意可设f(x)=xα,则f(1)

7、=1,由f(4)=8f(2)得4α=8×2α,解得α=3,所以f(x)=x3,故f==.答案 1 5.若幂函数y=(m2-3m+3)xm2-m-2的图象不经过原点,则实数m的值为________.解析 由解得m=1或2.经检验m=1或2都适合.答案 1或26.若函数f(x)=x2+2(a-1)x+2在区间(-∞,3]上是减函数,则实数a的取值范围是________.解析 二次函数f(x)图象的对称轴是x=1-a,由题意知1-a≥3,∴a≤-2.答案 (-∞,-2]考点一 幂函数的图象和性质【例1】(1)(2017·济南诊断测试)已知幂函数f(x)=k·

8、xα的图象过点,则k+α等于(  )A.B.1C.D.2(2)若(2m+1)>(m2+m-1),则实数m的取值范围是(  )A.B.C.(-1,2)D.解析 (1)由幂函数的定义知k=1.又f=,所以=,解得α=,从而k+α=.-8-(2)因为函数y=x的定义域为[0,+∞),且在定义域内为增函数,所以不等式等价于解得即≤m<2.答案 (1)C (2)D规律方法 (1)可以借助幂函数的图象理解函数的对称性、单调性;(2)α的正负:当α>0时,图象过原点和(1,1),在第一象限的图象上升;当α<0时,图象不过原点,过(1,1),在第一象限的图象下降.(3

9、)在比较幂值的大小时,必须结合幂值的特点,选择适当的函数,借助其单调性进行比较,准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键.【训练1】(1)幂函数y=f(x)的图象过点(4,2),则幂函数y=f(x)的图象是(  )(2)已知幂函数f(x)=(n2+2n-2)xn2-3n(n∈Z)的图象关于y轴对称,且在(0,+∞)上是减函数,则n的值为(  )A.-3B.1C.2D.1或2解析 (1)设f(x)=xα(α∈R),则4α=2,∴α=,因此f(x)=x,根据图象的特征,C正确.(2)∵幂函数f(x)=(n2+2n-2)xn2-3n在(0,+∞)上是减函数

10、,∴∴n=1,又n=1时,f(x)=x-2的图象关于y轴对称,故n=1.答案 (1)C (2)

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