浙江高考数学总复习第二章与数1第4讲幂函数与二次函数学案

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1、第4讲　幂函数与二次函数最新考纲　1.了解幂函数的概念；掌握幂函数y＝x，y＝x2，y＝x3，y＝x，y＝的图象和性质；2.理解二次函数的图象和性质，能用二次函数、方程、不等式之间的关系解决简单问题.知识梳理1.幂函数(1)幂函数的定义一般地，形如y＝xα的函数称为幂函数，其中x是自变量，α为常数.(2)常见的5种幂函数的图象(3)常见的5种幂函数的性质函数特征性质y＝xy＝x2y＝x3y＝xy＝x－1定义域RRR[0，＋∞){x

2、x∈R，且x≠0}值域R[0，＋∞)R[0，＋∞){y

3、y∈R，且y≠0}奇偶性奇偶奇非奇非偶奇2.二次函数(1)二次函数

4、解析式的三种形式：一般式：f(x)＝ax2＋bx＋c(a≠0).顶点式：f(x)＝a(x－m)2＋n(a≠0)，顶点坐标为(m，n).零点式：f(x)＝a(x－x1)(x－x2)(a≠0)，x1，x2为f(x)的零点.(2)二次函数的图象和性质解析式f(x)＝ax2＋bx＋c(a>0)f(x)＝ax2＋bx＋c(a<0)-8-图象定义域(－∞，＋∞)(－∞，＋∞)值域单调性在上单调递减；在上单调递增在上单调递增；在上单调递减对称性函数的图象关于x＝－对称诊断自测1.判断正误(在括号内打“√”或“×”)(1)函数y＝2x是幂函数.(　　)(2)当n>0时

5、，幂函数y＝xn在(0，＋∞)上是增函数.(　　)(3)二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈R)不可能是偶函数.(　　)(4)二次函数y＝ax2＋bx＋c(x∈[a，b])的最值一定是.(　　)　解析　(1)由于幂函数的解析式为f(x)＝xα，故y＝2x不是幂函数，(1)错.(3)由于当b＝0时，y＝ax2＋bx＋c＝ax2＋c为偶函数，故(3)错.(4)对称轴x＝－，当－小于a或大于b时，最值不是，故(4)错.答案　(1)×　(2)√　(3)×　(4)×2.(2016·全国Ⅲ卷)已知a＝2，b＝3，c＝25，则(　　)A.b

6、a>b.答案　A3.已知f(x)＝x2＋px＋q满足f(1)＝f(2)＝0，则f(－1)的值是(　　)A.5B.－5C.6D.－6解析　由f(1)＝f(2)＝0知方程x2＋px＋q＝0的两根分别为1，2，则p＝－3，q＝2，∴f(x)＝-8-x2－3x＋2，∴f(－1)＝6.答案　C4.(2017·杭州测试)若函数f(x)是幂函数，则f(1)＝________，若满足f(4)＝8f(2)，则f＝________.解析　由题意可设f(x)＝xα，则f(1)

7、＝1，由f(4)＝8f(2)得4α＝8×2α，解得α＝3，所以f(x)＝x3，故f＝＝.答案　1　5.若幂函数y＝(m2－3m＋3)xm2－m－2的图象不经过原点，则实数m的值为________.解析　由解得m＝1或2.经检验m＝1或2都适合.答案　1或26.若函数f(x)＝x2＋2(a－1)x＋2在区间(－∞，3]上是减函数，则实数a的取值范围是________.解析　二次函数f(x)图象的对称轴是x＝1－a，由题意知1－a≥3，∴a≤－2.答案　(－∞，－2]考点一　幂函数的图象和性质【例1】(1)(2017·济南诊断测试)已知幂函数f(x)＝k·

8、xα的图象过点，则k＋α等于(　　)A.B.1C.D.2(2)若(2m＋1)>(m2＋m－1)，则实数m的取值范围是(　　)A.B.C.(－1，2)D.解析　(1)由幂函数的定义知k＝1.又f＝，所以＝，解得α＝，从而k＋α＝.-8-(2)因为函数y＝x的定义域为[0，＋∞)，且在定义域内为增函数，所以不等式等价于解得即≤m<2.答案　(1)C　(2)D规律方法　(1)可以借助幂函数的图象理解函数的对称性、单调性；(2)α的正负：当α>0时，图象过原点和(1，1)，在第一象限的图象上升；当α<0时，图象不过原点，过(1，1)，在第一象限的图象下降.(3

9、)在比较幂值的大小时，必须结合幂值的特点，选择适当的函数，借助其单调性进行比较，准确掌握各个幂函数的图象和性质是解题的关键.【训练1】(1)幂函数y＝f(x)的图象过点(4，2)，则幂函数y＝f(x)的图象是(　　)(2)已知幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)xn2－3n(n∈Z)的图象关于y轴对称，且在(0，＋∞)上是减函数，则n的值为(　　)A.－3B.1C.2D.1或2解析　(1)设f(x)＝xα(α∈R)，则4α＝2，∴α＝，因此f(x)＝x，根据图象的特征，C正确.(2)∵幂函数f(x)＝(n2＋2n－2)xn2－3n在(0，＋∞)上是减函数

10、，∴∴n＝1，又n＝1时，f(x)＝x－2的图象关于y轴对称，故n＝1.答案　(1)C　(2)