2017_18版高中数学第二章空间向量的标准正交分解与坐标表示3.2空间向量基本定理学案

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1、3.1　空间向量的标准正交分解与坐标表示3.2　空间向量基本定理学习目标　1.理解空间向量基本定理，并能用基本定理解决一些几何问题；2.理解基底、基向量及向量的线性组合的概念；3.掌握空间向量的坐标表示，能在适当的坐标系中写出向量的坐标.知识点一　空间向量基本定理思考1　平面向量基本定理的内容是什么？思考2　平面向量的基底唯一确定吗？梳理　(1)空间向量基本定理条件三个______的向量e1，e2，e3和空间______向量a结论存在唯一一组实数λ1，λ2，λ3，使得__________(2)基底条件：三个向量e1，e2，e

2、3______.结论：__________________叫作空间的一个基底.基向量：基底中的向量e1，e2，e3都叫作基向量.知识点二　空间向量的坐标表示思考1　平面向量的坐标是如何表示的？思考2　基底不同，向量的坐标相同吗？8梳理　空间向量的正交分解及其坐标表示单位正交基底有公共起点O的三个两两______的______向量，记作e1，e2，e3空间直角坐标系以e1，e2，e3的公共起点O为原点，分别以__________________的方向为x轴，y轴，z轴的正方向建立空间直角坐标系空间向量的坐标表示在给定的空间直角

3、坐标系中，i，j，k分别为x轴，y轴，z轴正方向上的单位向量，对于空间中任意向量a，存在唯一一组三元有序实数(x，y，z)，使得a＝xi＋yj＋zk.我们把a＝xi＋yj＋zk叫作a的____________，把i，j，k叫作____________.(x，y，z)叫作空间向量a的坐标，记作a＝(x，y，z)，a＝(x，y，z)叫作向量a的坐标表示类型一　基底的概念例1　若{a，b，c}是空间的一个基底.试判断{a＋b，b＋c，c＋a}能否作为该空间的一个基底？反思与感悟　基底判断的基本思路及方法(1)基本思路：判断三个空间

4、向量是否共面，若共面，则不能构成基底；若不共面，则能构成基底.(2)方法：①如果向量中存在零向量，则不能作为基底；如果存在一个向量可以用另外的向量线性表示，则不能构成基底.②假设a＝λb＋μc，运用空间向量基本定理，建立λ，μ的方程组，若有解，则共面，不能作为基底；若无解，则不共面，能作为基底.跟踪训练1　(1)已知a，b，c是不共面的三个非零向量，则可以与向量p＝a＋b，q＝a－b构成基底的向量是(　　)A.2aB.2bC.2a＋3bD.2a＋5c8(2)以下四个命题中正确的是________.①空间的任何一个向量都可用三

5、个给定向量表示；②若{a，b，c}为空间的一个基底，则a，b，c全不是零向量；③如果向量a，b与任何向量都不能构成空间的一个基底，则一定有a与b共线；④任何三个不共线的向量都可构成空间的一个基底.类型二　用基底表示向量例2　如图所示，在平行六面体ABCD—A′B′C′D′中，＝a，＝b，＝c，P是CA′的中点，M是CD′的中点，N是C′D′的中点，点Q在CA′上，且CQ∶QA′＝4∶1，用基底{a，b，c}表示以下向量.(1)；(2)；(3)；(4).反思与感悟　用基底表示向量的步骤(1)定基底：根据已知条件，确定三个不共面

6、的向量构成空间的一个基底.(2)找目标：用确定的基底(或已知基底)表示目标向量，需要根据三角形法则及平行四边形法则，结合相等向量的代换、向量的运算进行变形、化简，最后求出结果.(3)下结论：利用空间向量的一个基底{a，b，c}可以表示出空间所有向量.表示要彻底，结果中只能含有a，b，c，不能含有其他形式的向量.跟踪训练2　如图所示，在空间四边形OABC中，G、H分别是△ABC、△OBC的重心，设＝a，＝b，＝c.试用向量a，b，c表示向量.8类型三　空间向量的坐标表示例3　在棱长为1的正方体ABCD—A′B′C′D′中，E、

7、F、G分别为棱DD′、D′C′、BC的中点，以{，，}为基底，求下列向量的坐标.(1)，，；(2)，，.引申探究本例中，若以{，，}为基底，试写出，，的坐标.　反思与感悟　用坐标表示空间向量的步骤跟踪训练3　在空间四边形OABC中，＝a，＝b，＝c，点M在OA上，且OM＝2MA，N为BC的中点，在基底{a，b，c}下的坐标为________.81.在以下三个命题中，真命题的个数是(　　)①三个非零向量a、b、c不能构成空间的一个基底，则a、b、c共面；②若两个非零向量a、b与任何一个向量都不能构成空间的一个基底，则a、b共线

8、；③若a、b是两个不共线的向量，而c＝λa＋μb(λ、μ∈R且λμ≠0)，则{a，b，c}构成空间的一个基底.A.0B.1C.2D.32.已知点A在基底{a，b，c}下的坐标为(8,6,4)，其中a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，则点A在基底{i，j，k}下的坐标是(　　)A.(12,1