高中数学第二章空间向量与立体几何2.3.1_3.2空间向量的标准正交分解与坐标表示空间向量基本定理训练案

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1、2.3.1-3.2空间向量的标准正交分解与坐标表示空间向量基本定理[A.基础达标]1．若向量，，的起点M和终点A，B，C互不重合且无三点共线，则能使向量，，成为空间一个基底的关系是(　　)A.＝＋＋B.＝＋C.＝＋＋D.＝2－解析：选C.当＝x＋y＋z(x＋y＋z＝1)时，M、A、B、C四点共面，排除A；当＝x＋y时，M、A、B、C四点共面，排除B和D，故选C.2．如图所示，在平行六面体ABCD-A1B1C1D1中，＝a，＝b，＝c，点M，N是平面A1B1C1D1内任意两个不重合的点，＝xa＋yb＋zc(x，y，z∈R)，那么(　

2、　)A．x，y，z都不等于0B．x，y，z中最多有一个值为0C．x，y，z中z必等于0D．x，y，z不可能有两个等于0解析：选C.因为MN在平面A1B1C1D1内，所以z必为0.3.如图，梯形ABCD中，AB∥CD，AB＝2CD，点O为空间内任意一点，设＝a，＝b，＝c，则向量可用a，b，c表示为(　　)A．a－b＋2cB．a－b－2cC．－a＋b＋cD.a－b＋c解析：选D.＝＋＝＋＝＋(－)＝a－b＋c.4．已知点A在基底a，b，c下的坐标为(8，6，4)，其中a＝i＋j，b＝j＋k，c＝k＋i，则点A在基底i，j，k下的坐标

3、为(　　)A．(12，14，10)　　　　　　　B．(10，12，14)C．(14，10，12)D．(4，2，3)解析：选A.因为8a＋6b＋4c＝8(i＋j)＋6(j＋k)＋4(k＋i)，所以点A在基底i，j，k下的坐标为(12，14，10)．5．已知e1，e2，e3为空间的一个基底，若a＝e1＋e2＋e3，b＝e1＋e2－e3，c＝e1－e2＋e3，d＝e1＋2e2＋3e3，d＝αa＋βb＋γc，则α，β，γ分别为(　　)A.，－1，－B．1，2，3C．1，1，1D．1，－1，1解析：选A.因为d＝αa＋βb＋γc＝(α＋β＋

4、γ)e1＋(α＋β－γ)e2＋(α－β＋γ)e3＝e1＋2e2＋3e3.所以解得6.已知在如图所示的长方体ABCDA1B1C1D1中，E，F分别为D1C1，B1C1的中点，若以，，为基底，则向量的坐标为________，向量的坐标为________，向量的坐标为________．解析：＝＋＝＋＋＝＋＋；＝＋＋＝＋＋；＝＋＋＝＋＋，故、、在基底，，下的坐标分别为(，1，1)，(1，，1)，(1，1，1)．答案：(，1，1)　(1，，1)　(1，1，1)7.如图所示，点M为OA的中点，以，，为基底的向量＝x＋y＋z，则(x，y，z)＝

5、________．解析：因为＝－＝－，又＝x＋y＋z，所以x＝，y＝0，z＝－1，即(x，y，z)＝(，0，－1)．答案：(，0，－1)8．设OABC是四面体，G1是△ABC的重心，G是OG1上一点，且OG＝3GG1，若＝x＋y＋z，则(x，y，z)为________．解析：＝－，＝－，因为G1是△ABC的重心，所以＝(＋)＝(＋－2)，＝＋＝＋(＋－2)＝(＋＋)，由于OG＝3GG1，所以＝＝(＋＋)，又＝x＋y＋z，所以(x，y，z)＝(，，)．答案：(，，)9.如图，已知正方体ABCDA′B′C′D′，点E是上底面A′B′C

6、′D′的中心，分别取向量，，为基底，若(1)＝x＋y＋z；(2)＝x＋y＋z，试确定x，y，z的值．解：(1)因为＝＋＝＋＋＝－＋＋，又＝x＋y＋z，所以x＝1，y＝－1，z＝1.(2)因为＝＋＝＋＝＋(＋)＝＋＋＝＋＋，又＝x＋y＋z，所以x＝，y＝，z＝1.10.如图所示，已知平行六面体ABCDA1B1C1D1，＝a，＝b，＝c，P是CA1的中点，M是CD1的中点．试用a，b，c表示如下向量：(1)；(2).解：(1)因为＝＋，而＝＝c，＝＝(＋＋)＝(－c＋a＋b)＝a＋b－c，所以＝c＋(a＋b－c)＝a＋b＋c.(2)因

7、为＝＋＋，而＝a，＝＝b，且M是CD1的中点，则＝＝(＋)＝(－＋)＝(－a＋c)，所以＝＋＋＝a＋b＋(－a＋c)＝a＋b＋c.[B.能力提升]1．在正方体ABCD-A1B1C1D1中，棱长为1，则在上的投影为(　　)A．－B.C．－D.解析：选B.因为正方体ABCD-A1B1C1D1的棱长为1，所以

8、

9、＝，

10、

11、＝，

12、

13、＝.所以△AB1C是等边三角形．所以在上的投影为

14、

15、cos〈，〉＝×cos＝.2．在三棱锥S-ABC中，G为△ABC的重心，则有(　　)A.＝(＋＋)B.＝(＋＋)C.＝(＋＋)D.＝＋＋解析：选B.连接AG并延

16、长交BC于点D，＝＋＝＋＝＋(＋)＝＋×(＋)＝(＋＋)．3．若a，b，c是空间的一个基底，且存在实数x，y，z使得xa＋yb＋zc＝0，则x，y，z满足的条件是________．解析：由空间向量基本定理，得x＝y＝z＝0.答案：x＝y＝z＝04．