高中数学第2章空间向量与立体几何33.1空间向量的标准正交分解与坐标表示3.2空间向量基本定理学案北师大版

《高中数学第2章空间向量与立体几何33.1空间向量的标准正交分解与坐标表示3.2空间向量基本定理学案北师大版》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、3.1　空间向量的标准正交分解与坐标表示3.2　空间向量基本定理学习目标：1.了解空间向量基本定理及其意义．(重点)　掌握空间向量的标准正交分解及其坐标表示，会求向量的坐标．(重点)　理解空间中的任何一个向量都可以用三个不共面的向量来表示，能够在具体问题中适当地选取基底．(难点)1．标准正交基在给定的空间直角坐标系中，x轴，y轴，z轴正方向的单位向量i，j，k叫作标准正交基．2．标准正交分解设i，j，k为标准正交基，对空间任意向量a，存在唯一一组三元有序实数组(x，y，z)，使得a＝xi＋yj＋zk，则把

2、a＝xi＋yj＋zk叫作a的标准正交分解．3．向量的坐标表示在a的标准正交分解中三元有序实数组(x，y，z)叫作空间向量a的坐标，a＝(x，y，z)叫作向量a的坐标表示．思考：平行于坐标轴或坐标平面的向量，如何用坐标表示？[提示]　(1)当向量a平行于x轴时，纵坐标，竖坐标都为0，即a＝(x，0，0)．(2)当向量a平行于y轴时，横坐标，竖坐标都为0，即a＝(0，y，0)．(3)当向量a平行于z轴时，横坐标，纵坐标都为0，即a＝(0，0，z)．(4)当向量a平行于xOy平面时，竖坐标为0，即a＝(x，y，

3、0)．(5)当向量a平行于yOz平面时，横坐标为0，即a＝(0，y，z)．(6)当向量a平行于xOz平面时，纵坐标为0，即a＝(x，0，z)．4．向量坐标与投影(1)i，j，k为标准正交基，a＝xi＋yj＋zk，那么a·i＝x，a·j＝y，a·k＝z．把x，y，z分别称为向量a在单位向量i，j，k上的投影．(2)向量的坐标等于它在坐标轴正方向上的投影．(3)一般地，若b0为b的单位向量，则称a·b0＝

4、a

5、cos〈a，b〉为向量a在向量b上的投影．5．空间向量基本定理如果向量e1，e2，e3是空间三个不共

6、面的向量，a是空间任一向量，那么存在唯一一组实数λ1，λ2，λ3使得a＝λ1e1＋λ2e2＋λ3e3．思考：平面向量的基底要求二个基向量不共线，那么构成空间向量基底的三个向量有什么条件？[提示]　空间任意三个不共面的向量都可以作为空间向量的一个基底，基底选定后，空间任意向量均可由基底唯一表示．1.判断正误(1)只有两两垂直的三个向量才能作为空间向量的一组基底．(　　)(2)向量的坐标与点P的坐标一致．(　　)(3)对于三个不共面向量a1，a2，a3，不存在实数组{λ1，λ2，λ3}使λ1a1＋λ2a2＋λ

7、3a3＝0.(　　)[答案]　(1)×　(2)×　(3)×2．若向量a、b、c是空间的一个基底，向量m＝a＋b，n＝a－b，那么可以与m、n构成空间的另一个基底的向量是(　　)A．a　　　　　　　　B．bC．cD．2aC　[只有c与m，n不共面，故c，m，n可作一组基底．]3．向量a＝(0，2，3)，则(　　)A．a平行于x轴B．a平行于平面yOzC．a平行于平面zOxD．a平行于平面xOyB　[因为a的横坐标为0，所以a平行于平面yOz.]4．若向量i，j，k为空间直角坐标系上对应x轴，y轴，z轴正方向

8、的单位向量，且设a＝2i－j＋3k，则向量a的坐标为________．(2，－1，3)　[根据空间向量坐标的定义知，a＝(2，－1，3)．]空间向量的基底【例1】　已知{e1，e2，e3}是空间的一个基底，且＝e1＋2e2－e3，＝－3e1＋e2＋2e3，＝e1＋e2－e3，试判断{，，}能否作为空间的一个基底．[解]　假设，，共面．则存在实λ，μ使得＝λ＋μ，∴e1＋2e2－e3＝λ(－3e1＋e2＋2e3)＋μ(e1＋e2－e3)＝(－3λ＋μ)e1＋(λ＋μ)e2＋(2λ－μ)e3，∵e1，e2，e

9、3不共面，∴此方程组无解，∴，，不共面，∴{，，}可以作为空间的一个基底．空间向量有无数个基底．判断给出的某一向量组中的三个向量能否作为基底，关键是要判断它们是否共面，如果从正面难以入手，常用反证法或是一些常见的几何图形帮助我们进行判断．1．设x＝a＋b，y＝b＋c，z＝c＋a，且{a，b，c}是空间的一个基底．给出下列向量组：①{a，b，x}；②{x，y，z}；③{b，c，z}；④{x，y，a＋b＋c}．其中可以作为空间的基底的向量组有________个．3　[如图所设a＝，b＝，c＝，则x＝，y＝，z

10、＝，a＋b＋c＝.由A，B1，D，C四点不共面可知向量x，y，z也不共面．同理可知b，c，z和x，y，a＋b＋c也不共面，可以作为空间的基底．因x＝a＋b，故a，b，x共面，故不能作为基底．]用基底表示向量【例2】　如图所示，在平行六面体ABCDA′B′C′D′中，＝a，＝b，＝c，P是CA′的中点，M是CD′的中点，N是C′D′的中点，点Q在CA′上，且CQ∶QA′＝4∶1，用基底{a，b，c}表示以下向量.(1)；(2)；