2017_18学年高中数学第二讲直线与圆的位置关系四弦切角的性质创新应用教学案

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1、四弦切角的性质[对应学生用书P28]弦切角定理(1)文字语言叙述：弦切角等于它所夹的弧所对的圆周角．(2)图形语言叙述：如图，AB与⊙O切于A点，则∠BAC＝∠D.[说明]　弦切角的度数等于它所夹弧度数的一半，圆周角的度数等于它所对的弧的度数的一半，圆心角的度数等于它所对弧的度数．[对应学生用书P29]弦切角定理[例1]　(2010·新课标全国卷)如图，已知圆上的弧＝，过C点的圆的切线与BA的延长线交于E点，证明：(1)∠ACE＝∠BCD；(2)BC2＝BE·CD.[思路点拨]　利用弦切角定理．[证明

2、]　(1)因为＝，所以∠BCD＝∠ABC.又因为EC与圆相切于点C，故∠ACE＝∠ABC，所以∠ACE＝∠BCD.(2)因为∠ECB＝∠CDB，∠EBC＝∠BCD，所以△BDC∽△ECB.故＝，8即BC2＝BE·CD.利用弦切角定理进行计算、证明，要特别注意弦切角所夹弧所对的圆周角，有时与圆的直径所对的圆周角结合运用，同时要注意根据题目的需要可添加辅助线构成所需要的弦切角．1．如图，AB为⊙O的直径，直线EF切⊙O于C，若∠BAC＝56°，则∠ECA＝________.解析：连接BC，∵AB为⊙O的直

3、径，∴∠ACB＝90°.∴∠B＝90°－∠BAC＝90°－56°＝34°.又∵EF与⊙O相切于点C，由弦切角定理，有∠ECA＝∠B＝34°.答案：34°2.如图，AB是⊙O的弦，CD是经过⊙O上的点M的切线，求证：(1)如果AB∥CD，那么AM＝MB；(2)如果AM＝BM，那么AB∥CD.证明：(1)∵CD切⊙O于M点，∴∠DMB＝∠A，∠CMA＝∠B.∵AB∥CD，∴∠CMA＝∠A.∴∠A＝∠B，故AM＝MB.(2)∵AM＝BM，∴∠A＝∠B.∵CD切⊙O于M点，∠CMA＝∠B，∴∠CMA＝∠A.∴

4、AB∥CD.3．如图，已知AB是⊙O的直径，直线CD与⊙O相切于点C，AC平分∠DAB.(1)求证：AD⊥CD；(2)若AD＝2，AC＝，求AB的长．解：(1)证明：如图，连接BC.∵直线CD与⊙O相切于点C，∴∠DCA＝∠B.8∵AC平分∠DAB，∴∠DAC＝∠CAB.∴∠ADC＝∠ACB.∵AB为⊙O的直径，∴∠ACB＝90°.∴∠ADC＝90°，即AD⊥CD.(2)∵∠DCA＝∠B，∠DAC＝∠CAB，∴△ADC∽△ACB.∴＝，∴AC2＝AD·AB.∵AD＝2，AC＝，∴AB＝.运用弦切角定理

5、证明比例式或乘积式[例2]　如图，PA，PB是⊙O的切线，点C在上，CD⊥AB，CE⊥PA，CF⊥PB，垂足分别为D，E，F.求证：CD2＝CE·CF.[思路点拨]　→→→[证明]　连接CA、CB.∵PA、PB是⊙O的切线，∴∠CAP＝∠CBA，∠CBP＝∠CAB.又CD⊥AB，CE⊥PA，CF⊥PB，∴Rt△CAE∽Rt△CBD，Rt△CBF∽Rt△CAD，∴＝，＝，∴＝，即CD2＝CE·CF.证明乘积式成立，往往与相似三角形有关，若存在切线，常要寻找弦切角，确定三角形相似的条件，有时需要添加辅助线

6、创造条件．84．如图，已知MN是⊙O的切线，A为切点，MN平行于弦CD，弦AB交CD于E.求证：AC2＝AE·AB.证明：连接BC.⇒△ACE∽△ABC⇒＝⇒AC2＝AB·AE.5．如图，AD是△ABC的角平分线，经过点A、D的⊙O和BC切于D，且AB、AC与⊙O相交于点E、F，连接DF，EF.(1)求证：EF∥BC；(2)求证：DF2＝AF·BE.证明：(1)∵⊙O切BC于D，∴∠CAD＝∠CDF.∵AD是△ABC的角平分线，∴∠BAD＝∠CAD.又∵∠BAD＝∠EFD，∴∠EFD＝∠CDF.∴EF

7、∥BC.(2)连接DE，∵⊙O切BC于D，∴∠BAD＝∠BDE.由(1)可得∠BDE＝∠FAD，又∵⊙O内接四边形AEDF，∴∠BED＝∠DFA.∴△BED∽△DFA.∴＝.又∵∠BAD＝∠CAD，∴DE＝DF.∴DF2＝AF·BE.[对应学生用书P30]8一、选择题1．P在⊙O外，PM切⊙O于C，PAB交⊙O于A、B，则(　　)A．∠MCB＝∠B　　　　　B．∠PAC＝∠PC．∠PCA＝∠BD．∠PAC＝∠BCA解析：由弦切角定理知∠PCA＝∠B.答案：C2．如图，△ABC内接于⊙O，EC切⊙O于点

8、C.若∠BOC＝76°，则∠BCE等于(　　)A．14°　　　　　　　B．38°C．52°D．76°解析：∵EC为⊙O的切线，∴∠BCE＝∠BAC＝∠BOC＝38°.答案：B3．如图，AB是⊙O的直径，EF切⊙O于C，AD⊥EF于D，AD＝2，AB＝6，则AC的长为(　　)A．2B．3C．2D．4解析：连接BC，则∠ACB＝90°，又AD⊥EF，∴∠ADC＝90°，即∠ADC＝∠ACB，又∵∠ACD＝∠ABC，∴△ABC∽△ACD，∴AC2＝AD·AB＝