2系统的运动分析

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1、Chapter2系统的运动分析首先对系统进行定量分析：在系统初始吋刻r=时，初始状态为O=x()的条件下，对该系统施加控制"⑴，求出系统状态兀⑴的变化，即求解非齐次方程(“⑴h0)初值问题的解：x(t)=+x(r0)=xQt>tQ或者在系统不加控制比⑴,(«(/)=()称为自由系统)的条件下，求岀初值班5)对系统状态兀⑴的影响，即求解齐次方程初值问题的解：x(r)=A(Ox(r),x(r())=x()t>t{)线性定常连续离散连续离散=>齐次解析解△数值解X解析解A数值解x状态方程的解屈于定量分析，而系统的能控性、能观性、稳定性屈于定性分析。2.1齐次状态方程的解一阶线性、

2、定常(A与时间/无关)连续系统(标量)微分方程x(Z)=ax(t),%(0)=x0,r>0(2-1)cok其解为%(0=瞥X。(2-2)k=()k・其中x(t)sa为标量对邪介线性、定常、连续系统齐次(u(Z)=0)状态方程(矩阵方程)x(r)=Ax⑴，x(0)=x0,t>Q(2-3)很自然，仿照常系数线性微分方程，可得到齐次状态方程的解二Ak.kx(r)=eAtx0二工x0(2-4)Uk!其中兀⑴为向量、4为矩阵。定义矩阵指数(它仍是一个矩阵)：JJLAkfk11eAt==I+At+—A2t2+…4-—Aktk(2-5)hk2k若初始时间为则状态方程的解为兀⑴=/(

3、如北二它也二处无(2-6)bok!另一方面，对x(r)=Ax(z)两边取Laplace变换，sX(s)-x(0)=AX(s)移项整理得(H-A)X($)=x(0),X(s)=(si-A)'1%(0)类比级数展开S—对丄1+-+、(93zx1XX••=yCl—X)1dH…73兀—(X~2*aaay计算：(si—A))人仃AA2)+…—A1——H+…丿匕ss)=/+AA2]1—+…ss—7•=/,划线部分相互抵消!/acra丿所以(s/-A)1=-+4-+—^+，--»两边取Laplace反变换得sy心―)十十弓代+・..+衲八(2-7)利用eA,=LT1[(si-A)"1

4、]称为频域求法或叫Laplace变换法这也可以看成是对标量函数Laplace变换L出的推广!用Laplace法求「=L~l[(s/-A)_,],当阶数较高时,求解(“-A)-'较困难。adj(5/-A)_H”+H”2+・・・+H]S+Hosn+cin_^sn1+…+d^S+Qq卜•面介绍法捷耶夫算法，给出递推公式(注意系数角标与$幕的对应关系)。uI—i-心”严-士叫比)Hk=AHk+^ak+iI此时必有:AH{)+a(}I=0(2-8)计算顺序是:=>Hn_2=A+an_}Ian-2-2)=_了前(人2+q“_]A)”一2=>H“_3=AH“_2+a』="+%一/+5—2

5、】11..=>an_3=-~tr(AHn_3)=一丁「(4+%」"+①—人)=>AH()-0注意：tr为矩阵之迹，即矩阵对角线元素之和；当加/。+勺心0吋，计算必有误。这种确定逆矩阵(.Z-A)-1的算法特别适合计算机编程计算，它可以降低计算时间和存储空间，从而降低系统成本，提高产品性价比，这也说明了理论成杲或算法的作用。‘0例2-1已知A=00、1,求ezV=U'f(s/-A)']oH、=AH2+a2I=AHq=AH]+d]/do=tr(A/70)=0;J解:用法捷耶夫法计算(s/-A)-1=比…+H"弘+…+%$+d()取比=/a2=—tr(AH2)=—tr(A)=0显

6、然有：AHQ+a.I=O因为〃=3,所以(s/-A)~lC'+弘=A($2+HS+H°)S+Cl^S+d]S+d()s00><010、‘001)(!s1/?1/严010S2状态转移矩阵在任意时刻，系统状态为x(t)=eA(t~f0)x(),它是一个“点”，随着时间的变化,这些点形成的轨迹称为“状态轨迹”。严心称为定常(连续)k=ok!系统的状态转移矩阵。它将系统从初始状态兀仏)转移到r时刻的状态x(r)o注意下图横轴为时间f,纵轴为状态x(r)o+001S+000>=01/5i/s2〔001丿<000丿<00°丿01/5/£'1/51/521/$"<1t尸/2、01

7、/51/?—01t01/5/,001z/=U[[(sI-A)~[]=U[图2.1—维系统的状态轨迹2.2.1状态转移矩阵的性质以心0为初始时刻的状态转移矩阵①(/)=/具冇以下性质：d/(1)0(0)=e°=l,O(r)=AO(r)或——=(2-9)df

8、(2)对任意r、r旬①⑴①⑺二①匕+门战/它八二/"")；这表明，状态转移具有传递性：对任意满足t2>t{>tQ9有"“宀).""宀)="“宀)，状态轨线由r0时刻x(r0)转移到°时刻^2)等于由5时刻班―)转移到匚时刻班人)，再由儿时刻班人)转移到°时刻班