2.系统的运动分析

《2.系统的运动分析》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、《现代控制理论》讲义第2章系统的运动分析Chapter2系统的运动分析首先对系统进行定量分析：在系统初始时刻时，初始状态为的条件下，对该系统施加控制，求出系统状态的变化，即求解非齐次方程（）初值问题的解：或者在系统不加控制，（称为自由系统）的条件下，求出初值对系统状态的影响，即求解齐次方程初值问题的解：状态方程的解属于定量分析，而系统的能控性、能观性、稳定性属于定性分析。2.1齐次状态方程的解一阶线性、定常（）连续系统（标量）微分方程，，(2-1)其解为(2-2)其中、为标量对阶线性、定常、连续系统齐次（）状态方程（矩阵方程），，(2-3)很自然，仿照常系数线性微分方程，

2、可得到齐次状态方程的解(2-4)其中为向量、为矩阵。定义矩阵指数(它仍是一个矩阵)：(2-5)若初始时间为，则状态方程的解为(2-6)另一方面，对两边取Laplace变换，移项整理得，21《现代控制理论》讲义第2章系统的运动分析所以类比级数展开计算：，划线部分相互抵消！所以，两边取Laplace反变换得(2-7)利用称为频域求法或叫Laplace变换法这也可以看成是对标量函数Laplace变换的推广！用Laplace法求，当阶数较高时，求解较困难。下面介绍法捷耶夫算法，给出递推公式（注意系数角标与幂的对应关系）。此时必有：(2-8)计算顺序是：注意：为矩阵之迹，即矩阵对角

3、线元素之和；当时，计算必有误。21《现代控制理论》讲义第2章系统的运动分析这种确定逆矩阵的算法特别适合计算机编程计算，它可以降低计算时间和存储空间，从而降低系统成本，提高产品性价比，这也说明了理论成果或算法的作用。例2-1已知，求。解：用法捷耶夫法计算，取;显然有：因为，所以。2.2状态转移矩阵在任意时刻，系统状态为，它是一个“点”，随着时间的变化，这些点形成的轨迹称为“状态轨迹”。称为定常（连续）系统的状态转移矩阵。它将系统从初始状态转移到时刻的状态。注意下图横轴为时间，纵轴为状态。21《现代控制理论》讲义第2章系统的运动分析图2.1一维系统的状态轨迹2.2.1状态转移

4、矩阵的性质以为初始时刻的状态转移矩阵具有以下性质:（1），或(2-9)（2）对任意有或；这表明，状态转移具有传递性：对任意满足，有，状态轨线由时刻转移到时刻等于由时刻转移到时刻，再由时刻转移到时刻。这意味着，状态方程的解可以任意分段求取，这就有可能避开对初始条件的处理，这是动态系统用状态空间法的又一优点。而在经典控制理论中，用高阶微分方程描述的系统，求解时对初始条件的处理是非常麻烦的，一般都假设去计算系统的响应。（3）对任意，或时间反演(2-10)（4）若矩阵满足交换律，则有(2-11)（、可交换的充要条件是为反称矩阵，称为对称矩阵，称为反称矩阵）对称矩阵；反称矩阵（5）

5、(2-.12)（6）设与是同阶的非奇异矩阵，则有(2-13)例2-2（例2.2.1）已知系统转移矩阵，求21《现代控制理论》讲义第2章系统的运动分析系统状态矩阵。解：根据状态转移矩阵的性质，对所有的，满足，∵令，得2.2.2状态转移矩阵的计算（1）定义法求这种方法很适合计算机求（级数）数值解，由于的存在，可以取到任意精度，但不易求解析解，只有在是“幂零矩阵”的情况下才可求得解析解。教材上给出了当时，计算状态转移矩阵的Matlab程序。幂零矩阵：存在某一正整数，使得称为次“幂零矩阵”。为幂零矩阵的“充要条件”是的所有特征值为零：，特例：为数字矩阵，即例2-3，，，3次“幂零

6、矩阵”与法捷耶夫法计算结果相同。特别的，当为对角矩阵时，此时，。（2）用Laplace变换公式求21《现代控制理论》讲义第2章系统的运动分析例2-4（例2.2.4）已知系统，用Laplace变换公式法求转移矩阵。解：∵得结果相同。（3）Cayley-Hamilton（凯莱—哈密尔顿）方法求Cayley-Hamilton定理：对给定的维实数矩阵，的特征多项式为则即矩阵满足其自身的“矩阵”特征方程。这表明矩阵的特征值都是矩阵的特征多项式的根将展开成矩阵的多项式（将无穷级数表达为有限项之和），先求出的特征值，然后根据的特征值情况求出展开系数。(2-14)——是待定系数，问题的关

7、键是求出待定系数。a.当有个不同特征值情况下，可用如下方法求展开系数写成分列式：21《现代控制理论》讲义第2章系统的运动分析写成矩阵向量形式由于是不同特征值，所以上式左边矩阵是满秩的，故共有个“独立”方程，可以唯一确定个待定系数。b.在a.中如果有特征值相同，比如，那么上式左边矩阵第一行与第二行就相同，矩阵的秩就减1，“独立”方程的个数就少一个。在求解线性定常微分方程的通解时，设解的形式为，代入方程得到，，出现重根，此时也是方程的解，而通解可表达成，这就有下面处理重根的方法。当有个单特征值，个重特征值，重数分别为情况下，可用如