数学分析极限复习

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1、复习1极限与连续1.1)求下列极限厂7sinxlimIn2()X2)/0corx〃作(1+3/期~x)3)/・、]•cSinxlim2Ix丿x-sinx4)•YT1x-l5)sinx-sinalimkx_a6)limX->4

2、00）连续，求d。^>0.・1xsm—,x2a+xr>0'在(-00,+00)连续，求0。x<0.e—x〉0,求/（x）的间断点并说明其类型。加（1+兀），一1<<0.6•证明方程⑴+讪"在开区间卜詞内至少有-个根。7.证明方程x=asinx+b,其中a>Otb>0,至少有一个正根，且它不超过a+b8.若/（兀）在［a问上连续,a

3、-B.-ClDO23f(V=Clf(x)在x=l连续，limf(x)=f(l)A-»l两个重要极限sinx兀TOXyiesinxlimXieS1I1M=lim“TOulim0⑴TOsin[0(/)]=12•当兀TO时,ex-l是兀的（）.3•低阶无穷小。等价无穷小A.高阶无穷小C.非等价的同阶无穷小解lim=1x—>0X当xtO时，是x的等价无穷小设y=ex一1,贝(J兀=加(1+y丿,且x—>0时，y—>0,lim=Iini:=lim-5x7加(l+y丿z丄加(1+y丿y=lim=」—=1尸°-Ineln(1+y)y注意

4、：(1)当兀XT*时，Z0为无穷小，0称Q为0的高阶无穷小aoo称a为/^勺低阶无穷小lim—=«0K(H0)称a与0为同阶无穷小(K=l)称a与0为等价无穷小(2)xtO吋，下列无穷小等价：兀sinxtanxarcsinxarctanxln(+x)ex-(3)关于第二个重要极限及其推论：x->oo*.v->03111.求极限lim()xtir-1x-解iim(——)二UmI""】丿XT1兀3_1X-lATI(兀一1丿(兀+X+1丿-(x-l)(x+2)-(x+2)_1-limlim_1xtI(*-1丿(Q+x+1丿

5、心1(/+*+1丿9•极限lim—xtO)tantdt(°tantdtlim丛xtOx2(ftantdtS=lim大一>o(小‘(-[tantdtS=lim力A*->0(刊“-tanxlimx->°2x注意：(1)罗必塔法则XT*时，/(兀丿—>0(00/g(x丿TO(co)2g(兀丿2g'(X)(2)变上限积分函数的导数([f(t)clt)f=f(x)f/⑴dt)=f(g(X))^(X)axJ"例如(f耐,YcostdtIJocos/兀+1(“+1=COSJX+1—.2Vx+12.讨论函数小護詈兀的连续性，若有间断点

6、，判别其类型。八)il+f1-limx2n川一>8rX=X1+limx2,t/I—>00当卜1=1时，八丿“~>81+兀2“1-limx2n—x=01+limx2nn—»qo当忖＞1时,八7"1+兀2“4.•1xsin—,x2a+xf(x)在(-oo,-l),(-1,1丿，(1,+8丿连续。x=±l为跳跃I可断点。r>0'在(-00,4-00)连续，求0。X<0.解limf(x)=lim(a+x2)=ax->0-x->0_limf(x)=lim(xsin—)=0f(0)=af(x)在x=0连续，limf(x)=limf(

7、x)=limf(x)=f(0)XT(fXTO"x->o故a=07.明方程x=asinx+b,其中a〉0,b>0,至少有一个止根，且它不超过d+b解设f(x)=x-asinx-b则/(J在［O,a+b］连续，又f(0)=-b<0f(a+b)=(a+b)—asin(a+b)-b=a［-sin(a+h)］若1-sin(a+h)=0f则x=a+b(>0)是一正根；若1-$加(。+〃丿>0,则由闭区间上连续函数性质的零值定理，存在和(O,d+b丿，使f(^)=0即兀=§为(O,a+bJ间一个正根。8.若/(兀)在［afb］±连续,

8、a