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1、第卷第期惠州学院学报自然科学版仪又年月习苗阳拜一数学分析中极限思想与极限概念教学许金泉惠,州学院数学系广东惠州印、摘要本文就极限思想的形成与发展学生在学习极限概念时感到困惑的原因以及在教学中如何把握和理解极限概念等方面给予阐述关键词数学分析极限思想极限概念一又一一中图分类号以文献标识码文章编号数学分析是近代数学的基础,是现代科学技术中应用最广泛的一门学科,是师范院校数学专业的一门主干基础课。极限概念是数学分析中最重要的概念之一,数学分析中几乎所有,、导、、、、重要的概念如连续数定积分重积分曲线积分曲面积分以及级数的收敛性等定义都建立在极限的基础上。极限理论是数学分析的基础理论,极限思想
2、贯穿整个数学分析学。。,科学生学习数学分析时要掌握的第一个重要概念就是极限概念然而极限概念叙述冗长,概念中的符号关系复杂,不易理解。初人数学分析门扉的读者,都感觉极限概念不好捉,。、摸极限的精确定义不易理解本文就极限思想的形成与发展学生在学习极限概念时感到。困惑的原因以及在教学中如何把握和理解极限概念等方面给予阐述极限思想,而、初等数学主要研究事物相对静止状态的数量关系数学分析则主要研究事物运动变化过程的数量关系。从初等数学发展到数学分析,研究对象发生了根本变化,这就必然引起。、研究方法的革新极限就是为了适应研究事物运动变化过程的数量关系而产生的一种新的。数学方法,、从极限产生的历史背
3、景来看极限概念产生于解决微积分学的基本问题求面积体、、。,,积弧长瞬时速度以及曲线在一点的切线问题然而极限思想人们在很早的时候就已。,经有了极限思想起源于穷竭法穷竭法通常以古希腊数学家欧多克索斯公元前一,,“公元前命名他认为量是无限可分的建立了下列原理如果从任一量中减去抖一一收稿日期的巧作者简介许金泉一,男,广东惠东县人,惠州学院数学系副教授基金项目惠州学院科研项目©1994-2010ChinaAcademicJournalElectronicPublishingHouse.Allrightsreserved.http://www.cnki.net许金泉数学分析中极限思想与极限概念教学
4、叉阵牛不,,,小于它的一半的部分从余量中再减去不小于它的一半的另一部分如此继续下去则最”。一后留下一个小于任何给定的同类量的量古希腊数学家阿基米德公元前料公元前推广了穷竭法,他在《论球和柱体》一书中,第一次给出了球和球冠的表面积,球和。,,圆,球缺的体积的正确公式他指出如果圆柱的底等于球的大圆柱的高等于球的直径则,。球的表面积恰好等于圆柱的总面积的乃圆柱的体积恰好等于球的体积的这些结果,。是通过一系列命题一步一步推导出来的这个过程蕴涵着积分思想阿基米德把一个量看成由大量的微元所组成,这与现代的积分法实质上是相同的。但由于当时没有实数理论,没有,因。无限的概念而没有形成极限的概念极限思想
5、在我国古代的文献中也有记载,战国时代哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》“,日取其半,”,,引用过一句话一尺之捶万世不竭也就是说一根长为一尺的木棒每天截去一,。,半这样的过程可以无限地进行下去公元年我国古代数学家刘徽在求圆的周长“”,。时使用的割圆求周的方法就使用了极限方法刘徽借助圆的内接正多边形的周长来求。、、圆的周长其作法是依次作圆的内接正六边形圆的内接正十二边形圆的内接正二十四边形,。,⋯⋯每个圆的内接正多边形周长都可求得圆内接正多边形边数越多其周长就与圆,“,。,以至于,的周长越接近正如刘徽所说割之弥细所失弥少割之又割不可割则与圆合。”。体而无所失矣这个方法蕴涵了极限思想,已形成了
6、初等数学。,。十七世纪中叶由于生产力的发展也推动了数学的发展在十七,、天、,、世纪物理学文学航海学向数学界提出了许多新的问题如天体的运行轨道问题、。变速运动物体瞬时速度问题不规则几何形体面积计算问题这些问题用初等数学都不能获得解决,要求用新的数学工具来解决,从而,人们开始研究运动着的物体和变化着的量,开。,因,。始研究变量和函数研究函数需用新的方法此人们开始研究极限运算十七世纪下半叶,英国数学家牛顿和德国数学家莱布尼兹分别总结了前人的工作,创立了一个新的学科。,,。一数学分析这个学科的特点是需要运用无限过程运算即极限运算数学分析的核心,。内容是微分学和积分学而微分和积分的概念是通过极限
7、来定义的但当时极限概念是含糊不,,。清的许多理论常常不能自圆其说也引出一些相互矛盾的东西例如牛顿在以年发,。牛表了《曲线的求积》一文其中他确定了护的导数顿当时作法如下,二十一双狱十先取无穷小量么则函数增量勿么护尹酞牙二钾护山女乙、,,因为纽是无穷小量可以忽略不计所以尸,,,“召,在这里么既可作分母又可忽略无穷小量既不是零却又等于零之即来呼之即”,。,,去完全随心所欲由于极限概念含糊不清数学分析没有坚实的基础因此悖论不断产生。,。数学家在研究级数
