数学分析中极限思想与极限概念教学new

《数学分析中极限思想与极限概念教学new》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、维普资讯http://www.cqvip.com第24卷第6期惠州学院学报(自然科学版)V01．24．No．62004年12月JournalofHulzhouUniversity(Nat．Sci．)Dee．20o4数学分析中极限思想与极限概念教学许金泉(惠州学院数学系，广东惠州516015)摘要本文就极限思想的形成与发展、学生在学习极限概念时感到困惑的原因以及在教学中如何把握和理解极限概念等方面给予阐述．关键词数学分析；极限思想；极限概念中图分类号：G424文献标识码：A文章编号：1671—5934(2004)06—0123～04

2、数学分析是近代数学的基础，是现代科学技术中应用最广泛的一门学科，是师范院校数学专业的一门主干基础课。极限概念是数学分析中最重要的概念之一，数学分析中几乎所有重要的概念，如连续、导数、定积分、重积分、曲线积分、曲面积分以及级数的收敛性等定义都建立在极限的基础上。极限理论是数学分析的基础理论，极限思想贯穿整个数学分析学科。学生学习数学分析时要掌握的第一个重要概念就是极限概念。然而，极限概念叙述冗长，概念中的符号关系复杂，不易理解。初人数学分析门扉的读者，都感觉极限概念不好捉摸，极限的精确定义不易理解。本文就极限思想的形成与发展、学生在

3、学习极限概念时感到困惑的原因以及在教学中如何把握和理解极限概念等方面给予阐述。1极限思想初等数学主要研究事物相对静止状态的数量关系，而数学分析则主要研究事物运动、变化过程的数量关系。从初等数学发展到数学分析，研究对象发生了根本变化，这就必然引起研究方法的革新。极限就是为了适应研究事物运动、变化过程的数量关系而产生的一种新的数学方法。从极限产生的历史背景来看，极限概念产生于解决微积分学的基本问题：求面积、体积、弧长、瞬时速度以及曲线在一点的切线问题。然而，极限思想，人们在很早的时候就已经有了。极限思想起源于穷竭法，穷竭法通常以古希腊

4、数学家欧多克索斯(Eudoxus公元前400一公元前350)命名，他认为量是无限可分的，建立了下列原理：“如果从任一量中减去收稿日期：2004—09—15作者简介：许金泉(1958一)，男，广东惠东县人，惠州学院数学系副教授基金项目：惠州学院科研项目(03．0214)．维普资讯http://www.cqvip.com·124·许金泉数学分析中极限思想与极限概念教学2004年不小于它的一半的部分，从余量中再减去不小于它的一半的另一部分，如此继续下去，则最后留下一个小于任何给定的同类量的量”。古希腊数学家阿基米德(公元前284一公元前

5、212)推广了穷竭法，他在《论球和柱体》一书中，第一次给出了球和球冠的表面积，球和球缺的体积的正确公式。他指出，如果圆柱的底等于球的大圆，圆柱的高等于球的直径，则球的表面积恰好等于圆柱的总面积的2／3，圆柱的体积恰好等于球的体积的3／2。这些结果是通过一系列命题一步一步推导出来的，这个过程蕴涵着积分思想。阿基米德把一个量看成由大量的微元所组成，这与现代的积分法实质上是相同的。但由于当时没有实数理论，没有无限的概念，因而没有形成极限的概念。极限思想在我国古代的文献中也有记载，战国时代哲学家庄周所著的《庄子·天下篇》引用过一句话：“一

6、尺之棰，日取其半，万世不竭”，也就是说一根长为一尺的木棒，每天截去一半，这样的过程可以无限地进行下去。公元263年，我国古代数学家刘徽在求圆的周长时使用的“割圆求周”的方法，就使用了极限方法。刘徽借助圆的内接正多边形的周长来求圆的周长。其作法是：依次作圆的内接正六边形、圆的内接正十二边形、圆的内接正二十四边形⋯⋯，每个圆的内接正多边形周长都可求得。圆内接正多边形边数越多，其周长就与圆的周长越接近，正如刘徽所说“割之弥细，所失弥少。割之又割，以至于不可割，则与圆合体而无所失矣。”这个方法蕴涵了极限思想。十七世纪中叶，已形成了初等数学

7、。由于生产力的发展，也推动了数学的发展。在十七世纪，物理学、天文学、航海学向数学界提出了许多新的问题，如：天体的运行轨道问题、变速运动物体瞬时速度问题、不规则几何形体面积计算问题。这些问题用初等数学都不能获得解决，要求用新的数学工具来解决，从而，人们开始研究运动着的物体和变化着的量，开始研究变量和函数。研究函数需用新的方法，因此，人们开始研究极限运算。十七世纪下半叶，英国数学家牛顿和德国数学家莱布尼兹分别总结了前人的工作，创立了一个新的学科一一数学分析。这个学科的特点是，需要运用无限过程运算，即极限运算。数学分析的核心内容是微分学

8、和积分学，而微分和积分的概念是通过极限来定义的。但当时极限概念是含糊不清的，许多理论常常不能自圆其说，也引出一些相互矛盾的东西。例如牛顿在1704年发表了《曲线的求积》一文，其中他确定了)(3的导数。牛顿当时作法如下：先取无穷小量2xx，则函数增量