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1、「-循环矩阵求逆的几种算法童玲（陕西理工学院数学与计算机科学学院数学与应用数学专业093班，陕西汉屮723100）指导教师：陈露［摘要］厂-循环矩阵逆矩阵是一类特殊的矩阵，及其算法是很重要的一类方法•本文归纳了厂-循环矩阵求逆的几种算法，并通过算例对几种算法进行了比较分析.［关键词］r•循环矩阵；逆矩阵；插值法；欧几里德算法；最大公因式.1引言在信号处理、数字图像处理、编码理论、自回归滤波器设计、计算机时序分析以及其他应用学科，常常会遇到各种形式的厂循环矩阵⑴，其中不少问题牵涉到求逆的计算•因此，对它的研
2、究就引起了许多学者的高度重视•近年来，对于「循环短阵求逆的算法的研究呈现出上升的态势，同时也取得一定的成果⑵.木文在查阅文献资料的基础上,对r-循环矩阵求逆算法研究成果进行归纳总结，分析了厂-循环矩阵求逆的初等算法，介绍了厂-循环短阵求逆的新算法，最后利用最大公因式算法介绍r-循环矩阵求逆的快速算法•通过具体例了对儿种算法进行了比较分析.2预备知识定义1⑴若矩阵A具有形状/,0()4…°口-2an-'务）a…仏2A=叫一2叫1G()…S—3•••<5•••ra2•••ra3••••••…叫•••a(
3、))(2.1)则称A为厂-循环矩阵.可以看出A完全由厂及®（i=0,/?-1）决定，故可将A写作:AACr(aQ,alJ..„an_2Jan_l)w“表示“记为”).特別地：当厂=1时，就是通常所说的循环矩阵；当r=-l吋，则为反循环矩阵.定义2工称n阶尸■循环矩阵01•■•000000••••••0100为基本r■循环矩阵，简记为J=Cr(0,1,0・・・0).显然JgCMr,且有J1=C,(O...,o/bO,ooo,0),J°=EnJn=rEn.其屮E“为〃阶单位矩阵.上述两定义屮，若r=l时，则/
4、•可以省略不写.3厂-循环矩阵的逆矩阵的初等算法/d()、■■■+(0a'■■■zr+...+‘0ran-、••••••a0••••严1U 丿z/+6Z
5、+Cl^0rE2+•••+%](3.1)3.1定理与算理如果A=a,(i,j=0,1,...一1),则aj_i，i5jran+H^>j・观察(2.1)式对角线及对角线位置上的元素，即任何r-循环矩阵都可以写成:E、0丿'0也丿£(0」0・・・,0)=eCMr.显然有J1=C「(0,・・・,0,l，0，・・・，0)=&Jn+k=rJ(
6、k为非负整数),丿的特征多项式为g(x)=xn-r.由(3.1)式与定义2可知：引理1⑵若AwC"x"，则A-CrgCMrw-1的充分必要条件为A=/(丿)=工％人，其屮/=0f(x)=^jaix,../=0显然线性无关，因此A的表达式唯一，即任何厂一循环矩阵都可以由丿的多项式唯一表示.引理2⑶设A二C「(d()，e，...,d”_JwCM,.,广二C,0,...,0,T,0,・・・,0)wCMr，则有A=/G()■■■+/■■■J+/a、•■■J~+...+z、an-'■■■Jn-[7、切引理3⑶若A,BwCM,.,则A-1eCMr,AB=BAeCA/r.定理1⑷设矩阵A=Cr(^0,6z1,...,^_1)eCMr且A非奇异，则A-1=B=Cr(/?0,^CMr,其中bo，b,・.・bn7是线性方程组"doJd]Qo••••••...ra2...ra}••••••raxra2■■■"X。'•■■<^-l>O的唯一解.证明因为A二C『(Qo4,…4_1)丘CM,,所以A二。0丿°+如丿+...+。心厂一，欲证尸一
8、循环矩阵A的逆矩阵也是厂一循环矩阵,只要找到B=b°广+也丿+...+仇“厂=注意严=rJk(P为非负数).AB=(唧°+订+…+an_,Jz)(/?0J°+仇丿+…+b心广')=(raibn-l+ra2bn-2+…+®丿
9、+d(0()"°+(ra2bn^+ra3bn^2+…++a}bQ)
10、列条件：Co=aQbQ+ra{bn_{+・・・+ra2bn_2+raxbn_{=1q=a}bQ+(70b,+…+ra3bn_2+ra2bn^=0C-2=5-2%+a3+…+a(A一2+叫也7=0cn-i=色一/o+a』+...+a{bn_2+叭“=0ran-100an-2^an-5-3an-2ra2、raxT■■ra2••••0■ao■叫1•■06%>O它与线性方程组do%ra25an-2存3an-2/、兀0■■T0■■
