极值点偏移问题的突破策略

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1、极值点偏移问题的突破策略1.知识理解所谓极值点偏移问题，是指对于单极值函数，由于函数极值点左右的增减速度不同，使得函数图像没有对称性•若函数/⑴在"二勺处取得极值，且函数y=fM的图像与直线y=a交于心,a),B(x2,«)两点，则AB的中点为"(丑严卫)，而往往兀H号.如下图所示.此类问题在近几年高考，作为热点以压轴题的形式给出•很多学生对此类问题经常束手无策，望题兴叹•因此，总结归纳此类题型的解题策略非常有必要•下面以一道典型题为例，以点带面说明极值点偏移问题的解题策略.2.问题辨析典例剖析(2010年天津理科第21题)已知

2、函数f(x)=xe~x(xe/?),如果西北勺，且/(^)=/(%2)，证明：兀］+%2>2.解析:f(x)=(1-x)e~x,易得/(x)在(-00,1)±单调递增，在(1,+8)上单调递减，XT—时，f(x)->—°°,f(0)=0,x->+°°时*,f(x)-0,函数/⑴在兀=1处取得极大值/⑴，且/(1)=-,e如图所示.由/(兀J=/(兀2)，兀1式兀2'不妨设兀1V兀2'则必有0<<12,艮卩证兀2>2-X］•因为0V兀］V1V兀2，故2—兀］,兀2W(1,+°°)・又因为/(兀)在(l,+o

3、o)上单调递减，故只需证/(%2)0,则H(兀)在xg(0,1)±单调递增,所以€//(%)2亦成立.2.拓展思考一般地，已知函数/(X)满足/(X()=/(X2),/(x)的极值点为兀，要证答巴>如或者¥<兀，可以采

4、用如下解题程序：(1)构造一元差函数F(x)=f(2x0-x)-/(x);(2)对差函数F⑴求导，判断导数符号，确定F(Q的单调性；(3)结合F(0)=0,判断F(x)的符号，从而确定f(2x0-x),/(X)的大小关系；(4)由/(Xj)=f(x2)>f(2xQ-x2)或者/^)=f(x2)/(2如一兀2)或者/(西)2xq-x2或者xi<2xQ-x29从而或者X+呂丁3.强化应用1+严(II)证明:当/(旺)=/(兀2)(西牛)

5、时,(I)求/⑷的单调区间;1.(2013年湖南文科第21题)已知函数/⑴1"兀］+兀2V0•解析：(I)易知/⑴在(-8,0)上单调递增，在(0,+8)上单调递减.(II)易知兀vl时f(x)>0,兀>1时/(X)<0・因为/(%!)=/(X2)且兀]*2'不妨设兀1<兀2由(I)知X[

6、0.所以F(兀)在(0,1)上单调递减，从而F(x)0,证明：当Ovx丄时,/(-+x)>/(--x);aaa(III)若函数y=fM的图像与兀轴交于A,B两点，线段AB中点的

7、横坐标为兀0,证明：厂(Xo)<0.解析：(I)/(X)的定义域为(0,+oo),/©)=丄一2做+(2_。)=一(力+1)@_1).XX(i)若aso,则f(力>o,所以/⑴在(0,+8)单调递增.(ii)若a>0,则由广(兀)=o得兀=丄，a且当血(0丄)时,/"(兀)>0,当x>丄时/⑴<0.aa所以/(兀)在(0,丄)单调递增，在(丄,+oo)单调递减.aa(II)设函数g(x)=/(-+%)-/(--%),则aag(x)=ln(l+ax)一ln(l-ax)一lax.zaa2a3x2g(兀)=+2a=—.+axax-

8、ax当Ovxv丄时,g‘⑴>0,而g(0)=0,所以g(x)>0・故当Ov兀v丄时,aci/(—+兀)>/(丄一尢).aa(III)由(I)可得，当必0时，函数y=/(x)的图像与X轴至多有一个交点，故a>0,从而/'(x)的最大值为/(-),0.a