极值点偏移问题的处理策略

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1、一ww，～k'／~J一～一一～2ol4年第7期(一)。—解：(I)f(z)在(～。。，1)上单调递增；在然想到的是从①②两式得到{e~1=：口a(zxl一-1)，,从而(1，+cx3)上单调递减，(1)一÷为极大值。e12一口。(z1—1)(z2—1)，因此改为证明a(1—1)·(Ⅱ)由题意g(z)一厂(2-X)一(2一)e一。，(z2—1)<口，即(一1)(2—1)<1。考虑用基本令F(z)=f(x)一g()===ze～一(2一)e一(不等式(z一1)(z一1)

2、l，z2>Ina，当取a—e。时，将因为当z≥1时，z一1≥0，e一。一e一≥0，所以会得到>3，从而z+>4。二元一次不等式。F(z)>／o，即F(z)在[1，+。。)上单调递增，所以当+z<4对任意a∈(e。，+∞)不恒成立，自然的思路x>l时，F()>F(1)一0，即(z)>g()。一时陷入了僵局。(Ⅲ)因为lz≠，不妨设z1，所以-厂(1)一f(2)>g(2)一相减得到③式，利用③式将ff华)转化为④式：．厂(2一z2)。因为z>1，2一z2<1，根据单调性z>2一z2，即z

3、1+z2>2。半一，以使参数消-2--。如此消参并不比点评：第(Ⅲ)问证Xl+X2>2，即要证半>上述相乘消参得到(z～1)(z一1)<1自然简洁，这样的处理让人觉得有点像魔术师从帽子里变出兔子，1。半就是直线一^(一厂(z。)一-厂(-z))被函数只有新奇，而不知所以然。④式是一个复杂的二元的一厂(z)所截线段中点的横坐标，不等式右边的1恰超越式，要证其小于0，一时也会觉得无从下手。答是函数-厂(z)=ze一的极值点，因此本质上是证极值案接着进行了一个巧妙的变形，将④式变形为⑤式，点左偏。得到关于生，即(s>0)的一元表达式。这样的例3(2011年高考

4、数学辽宁卷理科第21题)已知函数，(z)=Inz—nz。+(2一a)x。变形颇需一定的洞察力和思维的敏锐性，常常会难倒(I)讨论-厂()的单调性；众生。当然，得到⑤式的一元表达式后，问题就简单了。(Ⅱ)设n>0，证明：当o要证ffx下l+x2)<0，自然思路一时受阻，参考，(一z)；答案又显得玄乎，技巧性强。注意到不等式(IlI)若函数一，()的图象与轴交于A、B两-，fx下l-~-x2)

5、)若a≤即f(1nd)一0，因此也就是要证f(华1<0，则_厂(z)在(0，+oo)上单调递增；(ii)若a>0，则／(1na)。因为f()单-iN递增，即需证x~i-7x<()在(o，1)上单调递增，在(1，+Cx3)上单调Ina，这是个极值点右偏的问题。能否有通行的、易递减。于理解的方法呢?让我们到曾经的考题中寻找答案。(Ⅱ)设函数F()一厂(+z)一-厂(丢一)，则2题海寻踪F(z)一ln(1+ax)一In(1一ax)一2ax，例2(2010年高考数学天津卷理科第21题)已cz一+一2n一。知函数厂(z)一xe一(∈R)。(工)求函数厂()的单调区

6、间和极值；当O<<时，F()>0，F(0)一0，所以F(z)(Ⅱ)已知函数—g(Lz)的图象与函数Y一-厂()>0。的图象关于直线=1对称，证明：当z>1时，-厂()>g(z)；故当o<<丢时，厂(+-z)>厂(一z)。(UI)如果≠zz，且f(x)一f(x)，证明：+(11I)由(I)可得，当n≤0时，函数Y一()的图oZ"，>2象与z轴至多有一个交点。而函数一厂()的图象与轴有两个交点，故n>0。点评：第(HI)问证l+32"2<0，即要证旦-1-一．1：2<不妨设A(z。，o)，B(z2，o)，z2>z>0，则z2>0。二就是直线一(^一，(z)一

7、厂())被函数>z。>0，一>>一z>O。9n口口乜一-厂(z)所截线段中点的横坐标，不等式右边的0恰由(Ⅱ)得厂(2一z)一厂[+(一z)]>是函数厂(z)一专e的极值点，因此本质上是证明f(x1)一0一f(x2)。极值点右偏。从而z2>导n一，l，于是z。：{厶>÷Ⅱ。3策略提炼由(I)知，f(。)但本质上都是证明极值点的偏移。由于所给函数都丢。专是函数一()的图象截轴所得线段是超越函数，直接由Jf(z)=h求出{的值再与极值点比较大小几乎不可能，解答给出

8、的是一种间接中点的横坐标，不等式右边的音是函数厂()的极值证法。点，因此本质上也