考点08+对数和对数函数-高考全攻略之备战2019年高考数学(理)考点一遍过

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1、考点08对数与对数函数(1)理解对数的概念及其运算性质，知道用换底公式将一般对数转化成自然对数或常用对数；了解对数在简化运算屮的作用.(2)理解对数函数的概念，理解对数函数的单调性，学握对数函数图象通过的特殊点.(3)知道对数函数是一类重要的函数模型.(4)了解指数函数y=ax与对数函数y=log”互为反函数@>0,且。工1).知识整合'一、对数与对数运算1.对数的概念(1)对数：一般地，如果/=N(°>0,且QH1),那么数兀叫做以d为底N的对数，记作x=log“N,其中a叫做对数的底数，N叫做真数.(2)牢记两个重要对数：常用对数，以10为底的对数Ig

2、N；白然对数，以无理数c=2.71828…为底数的对数InTV.(3)对数式与指数式的互化：ax=N^>x=og(iN.2.对数的性质根据对数的概念，知对数臃“川(0>0,且(心1)具有以下性质：(1)负数和零没有对数，即N>0；(2)1的对数等于0,即logj=0；(3)底数的对数等于1,即loga«=l；(4)对数恒等式d呱n=N(N>0)・3・对数的运算性质如果。>0,且qh1,M>0,N>0,那么:(1)log“(M•N)=log“M+log“N；M⑵log"万"ogaMTogaN；(3)log“M"=nogaM(ngR).4.对数的换底公式I

3、naN对数的换底公式：log”N=6(b>0,JLb工1;c>0,HeH1;W>0).Io艮b换底公式将底数不同的对数转化为底数相同的对数，进而进行化简、汁算或证明•换底公式应用时究竟换成什么为底，由已知条件来确定，一般换成以10为底的常用对数或以e为底的自然对数.换底公式的变形及推广：n(1)log，”bn=—log(/b(a>0一口皿工1,b>0)；“m(2)log“/?二——!—(a>0且aH1;Z?>0且/?H1)；'呃a(3)logQlog〃c・log/Z=log屛(其中d,方，c均大于0且不等于1,d>0).二、对数函数及其性质1.对数函数的概

4、念-般地，我们把函数y=log(ix(a>0,且QH1)叫做对数函数，其屮x是自变量，函数的定义域是(0,+oo).2.对数函数的图象和性质一般地，对数函数y=logax(a>0,且dH1)的图象与性质如下表所示：0<6f<1a>1图彖yl；y=logax(a>l)0:y=loga%(0l时，y<0；当0Vx0当x>l时，)>0；当0

5、轴；当0VdV1时，底数越小，图彖越靠近X轴，即“底大图低3・对数函数与指数函数的关系指数函数y=/(a>o且ghI)与对数函数y=logwx(a>()且ghI)互为反函数，其图彖关于直线y=兀对称.点考向.考向一对数式的化简与求值对数运算的一般思路：(1)对于指数式、对数式混合型条件的化简与求值问题，一般可利用指数与对数的关系，将所给条件统一为对数式或指数式，再根据有关运算性质求解；(2)在对•数运算中，可先利用幕的运算性质把底数或真数变形，化成分数指数幕的形式，使幕的底数最简，然后运用对数的运算性质、换底公式，将对数式化为同底数对数的和、差、倍数运算.

6、注意：(1)在利用对数的运算性质logJM•N)=log“M+log“N与log"=nlogaM(neR)进行化简与求值时,要特别注意题目的前提条件，保证转化关系的等价性.(2)注意利用等式Ig2+lg5=l.典例引领典例1化简：(1)log3V27+lg25+lg4+7,Og72+(-9.8)°；(2)lg25+

7、lg8+lg5xlg20+(lg2)2.【答案】(1)5；(2)3.【解析】(1)logs厉+lg25+lg4+7"§a+(_9.8)33=-+21g5+21g2+-2【答案】D【解析】根据题意有/(k)g3d)=亦=,解得0=2,故选D.=3

8、+2(lg5+lg2)=3+21gl0=3+2x1=5.(2)lg25+—lg8+lg5xlg20+(lg2『=lg52+

9、lg23+lg5x(lg5+lg4)+(lg2)2=21g5+21g2+(lg5)2+21g5xlg2+(lg2)2=2(lg5+lg2)+(lg5+lg2)2=21gl0+(lg10)2=2+1=3・【名师点睛】本题主要考查了对数的运算，其屮熟记对数的运算法则和对数的运算性质是解答的关键，着重考查了推理与运算能力.运典例2己知函数/(%)=V1-3-A/(log3cz)=—,WJa=2A.-B.丄34C.丄D.2【名师点睛】该题考查

10、的是已知函数值求自变量的问题，在求解的过程中，需要対指数式和对数式