高考理科数学复习资料38等价转化法（讲）

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1、著名的数学家，莫斯科大学教授CM.雅洁卡娅曾在一次向数学奥林匹克参赛者发表《什么叫解题》的演讲时提出：“解题就是把要解题转化为已经解过的题”.数学的解题过程，就是从未知向已知、从复杂到简单的化归转换过程.等价转化是把未知解的问题转化到在已有知识范围内可解的问题的一种重要的思想方法.通过不断的转化，把不熟悉、不规范、复杂的问题转化为熟悉、规范甚至模式法、简单的问题.历年高考，等价转化思想无处不见，我们耍不断培养和训练口觉的转化意识，将有利于强化解决数学问题中的应变能力，提高思维能力和技能、技巧.常见的转化方法有以下几种类型：(1)直接转化法：把原问题直接转化为基本定理、基本公式或基本

2、图形问题；(2)换元法：运用“换元”把式子转化为有理式或使整式降幕等，把较复杂的函数、方程、不等式问题转化为易于解决的基本问题；(3)数形结合法：研究原问题屮数量关系(解析式)与空间形式(图形)关系，通过互相变换获得转化途径；(4)等价转化法：把原问题转化为一个易于解决的等价命题，达到化归的目的；(5)特殊化方法：把原问题的形式向特殊化形式转化，并证明特殊化后的问题，结论适合原问题.1.由等与不等引起的转化函数、方程与不等式就像“一胞三兄弟”，解决方程、不等式的问题需要函数帮助，解决函数的问题需要方程、不等式的帮助，因此借助于函数、方程、不等式进行转化与化归可以将问题化繁为简，一般

3、可将不等式关系转化为最值(值域)问题，从而求出参变量的范禺.例1【江苏省南京市2017届高三上学期学情调研】已知代劝，gd)分別是定义在R上的奇函数和偶函数，且心)+马3=(*)”.若存在彌丘［*,1]，使得等式af(xo)+^(2ao)=0成立,则实数&的取值范围是【答案】【解析】Sf(x)+g(x)=(l)x/(-x)4-g(-x)=(

4、)-x,即—/(x)+g(x)=(l)-S所以八力詁(2一_才)，^(x)=l(2-x+2x).存在xo€[k1],使得等式豹o)+gS)=0成立，即誉[,1],"一豎马,2*/2/(^>)设h(x)=_g(2x)7(^l］),则应(0=£*(

5、2亠+2")冷-2Js2xi-i-2x2X-2_x2=(2X-2"X)+2x-2_,龙点1］时，2—2化［丰环设贝皿哼为££ZX*Jk*22圧a2h(x)=f+—>易知y=X+-在［帀-=V^］是递减，在［V2:—］_t递増，因此弩,所以昭口迈半1,即处［厶任竽］tt2fx*a/2例2【北京市2017届高三入学定位考试】已知关于兀的方程e^+la-=0有2个不相等的实数根，则£的取值范围是・【答案】（-1,0）U（0,1）【解析】关于x的方程"川+恋_1=0有2个不相等的实数根，即=i-kx有两个不等的实数根，转化为y=0中和y=l-也的图象有两个交点，rtl于两函数的图象均过点

6、（0,1）,故己有一个交点，又因为y=*冈为偶函数，当兀>0时，y=—，临界位置为直线y=l-kx与曲线匕丿y（）i-U）相切，设切点坐标为（兀0，儿），y=~e~x，得<£%=%），解的兀。=o,）b=i,r=i,故要一严=-k使得有两个不相等的实数根，可得-lv—£<0,得也（0,1）,又因为丁=£咽为偶函数,可得当x

7、化的目标问题：一般将要解决的问题作为转化目标.第二步：寻找“特殊元素”与“一般元素”：把一般问题转化为特殊问题时，寻找“特殊元素”把特殊问题转化为一般问题时，寻找“一般元素”.第三步：确立新目标问题：根据新确立的“特殊元素”或者“一般元素”明确其与需要解决问题的关系，确立新的需要解决的问题.第四步：解决新目标问题：在新的板块知识背景下用特定的知识解决新目标问题.第五步：回归目标问题.第六步：冋顾反思：常用的特例有特殊数值、特殊数列、特殊函数、特殊图形、特殊角、特殊位置等.对于选择题，当题设在普通条件下都成立时，用特殊值进行探求，可快捷地得到答案；对于填空题，当填空题的结论唯一或题设

8、条件提供的信息暗示答案是一个定值时，可以把题中变化的量用特殊值代替，即可得到答案.X例3【湖南省长沙市长郡中学2017届高三上学期第三次月考】设函数/（x）=—^—（x>0）,2兀+2观察：f(x)=/(x)=X2x+2X14兀+8办（兀）=/（左（兀））=x30x+16根据以上事实，当时，由归纳推理可得：.九（1）=.［答案］——3x2n-l【解析】3x2—1通过条件归纳推理可知加==-处）=莎—=諾才故填1.由正与反引起的转化正难则反，利用补集求得其解，这就是