冲刺高考数学二轮复习核心考点特色突破专题07正余弦定理及其应用含解析

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1、专题07正余弦定理及其应用【自主热身，归纳总结】π31、在△ABC中，设a，b，c分别为角A，B，C的对边，若a＝5，A＝，cosB＝，c＝.45【答案】：73π4【解析】：因为cosB＝，所以B∈(0，)，从而sinB＝，所以sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB525232472ac5c＝×＋×＝，又由正弦定理得＝，即＝，解得c＝7.252510sinAsinC2722102、在△ABC中，已知AB＝1，AC＝2，B＝45°，则BC的长为．2＋6【答案】：22222【解析】：在△ABC中，已知c＝1，b＝2

2、，B＝45°，由余弦定理b＝a＋c－2accosB，得a－2a－1＝2＋62＋60.因为a>0，所以a＝，即BC＝.22解后反思已知两条边以及一个角，研究第三边的问题的本质是三边一角，所以应用余弦定理是最直接的方法，它要比应用正弦定理来得方便、快捷．3、在△ABC中，若，则cosC的值为．1【答案】8，不妨设【解析】由正弦定理得，则由余弦定理得.ABC中，若C等于则角【课本探源】（必修5第26页第10题）在三角形4、在锐角△ABC中，AB3，AC4．若△ABC的面积为33，则BC的长是．【答案】、133【解析】：因为b4,c3，由，解

3、得sinA，因为是在锐角ABC21中，所以（或求出锐角A，再求cosA），在锐角ABC中，由余弦定理32得：，所以a13，即BC13.o1535、在△ABC中，已知AB3，A120，且ABC的面积为，则BC边长为．4【答案】：7a26、在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若bsinAsinB＋acosB＝2c，则的值为．c【答案】：.2222【解析】：由正弦定理得，sinBsinAsinB＋sinAcosB＝2sinC，即sinA(sinB＋cosB)＝2sinC，即sinA＝asinA2sinC，再由正弦定理得，

4、＝＝2.csinC22ab7、在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，3，则c．c.【答案】：4【思路分析】本题第一步应将的条件化成正余弦的等式；第二步由于本题求是的三角形边长，22ab所以将三角函数值等式转化为边长的等式；第三步：再结合3解方程组即可.c【解析】：解法一：由可得：，即，所以有，即22ab由正、余弦定理可得：，即，又3c2所以c4c，即c4.解法二：也可在，用余弦定理可得，解得，下同解法一.8、在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.已知a＋2c＝2b，sinB＝2sinC，则cosA＝.2

5、【答案】4222b＋c－a【解析】：由sinB＝2sinC得b＝2c.又因为a＋2c＝2b，所以a＝2c，因此cosA＝＝2bc2222c＋c－2c2＝222c4tanA3c－b9、设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝，则cosA＝．tanBb1【答案】、3antA10、设△ABC的内角A，B，C的对边分别是a，b，c，且满足，则▲．antB【答案】;.4解法1（正弦定理）根据正弦定理可得，即，又因为所以又因为，所以tanA所以，则4.tanB解法2（射影定理）因为及可得，，acosBtanA注意到，两式相除可得4

6、，再由正弦定理可得4.bcosAtanB解后反思：解三角形问题中若等式既有三角函数又有边，则可以考虑利用正弦定理或余弦定理转化为只含有边或只含有三角函数的等式处理.解法2则利用了三角形中的射影定理（教材必修5p17练习5）结合条件整体处理.11、在△ABC中，BC=2，AC=1，以AB为边作等腰直角三角形ABD（B为直角顶点，C、D两点在直线AB的两侧）．当C变化时，线段CD长的最大值为．【答案】3思路分析要求CD的长，只需将CD表示为ACB的函数形式，然后应用三角函数知识来求它的最大值则可，因此在BCD中应用余弦定理可得，再在ABC

7、中分别应用正弦定理、余弦定理得及，故，由此可得结果．【解析】：在ABC中，由正弦定理得，由余弦定理得．在BCD中，由余弦定理得，故9，即CDmax3．【问题探究，变式训练】例1、.如图，在△ABC中，D是BC上的一点．已知∠B＝60°，AD＝2，AC＝10，DC＝2，则AB＝.26【答案】32＋4－102【解析】：在△ACD中，因为AD＝2，AC＝10，DC＝2，所以cos∠ADC＝＝－，从而∠ADC＝2×2×2222×AB2226135°，所以∠ADB＝45°.在△ADB中，＝，所以AB＝＝sin45°sin60°332【变式1】、

8、如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝4，点D在边BC上，∠BAD＝45°，则tan∠CAD的值为．8＋15【答案】7【解析】：从构造角的角度观察分析，可以从差的角度(∠CAD＝∠A－45°)，也可以从和的角度(