高考专题-- 正余弦定理及其应用-冲刺2019高考数学二轮复习核心考点---精校解析Word版

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1、高考专题正余弦定理及其应用【自主热身，归纳总结】1、在△ABC中，设a，b，c分别为角A，B，C的对边，若a＝5，A＝，cosB＝，c＝________.【答案】：7　【解析】：因为cosB＝，所以B∈(0，)，从而sinB＝，所以sinC＝sin(A＋B)＝sinAcosB＋cosAsinB＝×＋×＝，又由正弦定理得＝，即＝，解得c＝7.2、在△ABC中，已知AB＝1，AC＝，B＝45°，则BC的长为________．【答案】：　【解析】：在△ABC中，已知c＝1，b＝，B＝45°，由余弦定理b2＝a2＋c2－2accosB，得a2－a－1＝0.因为a>0，所

2、以a＝，即BC＝.已知两条边以及一个角，研究第三边的问题的本质是三边一角，所以应用余弦定理是最直接的方法，它要比应用正弦定理来得方便、快捷．3、在△中，若，则的值为．【答案】【解析】由正弦定理得，，不妨设则由余弦定理得.【课本探源】（必修5第26页第10题）在三角形中，若则角等于4、在锐角△ABC中，，．若△ABC的面积为，则的长是．【答案】、【解析】：因为，由，解得，因为是在锐角中，所以（或求出锐角，再求），在锐角中，由余弦定理得：，所以，即.5、在△中，已知，，且的面积为，则边长为．【答案】：76、在△ABC中，已知角A，B，C所对的边分别为a，b，c.若b

3、sinAsinB＋acos2B＝2c，则的值为________．【答案】：.2　【解析】：由正弦定理得，sinBsinAsinB＋sinAcos2B＝2sinC，即sinA(sin2B＋cos2B)＝2sinC，即sinA＝2sinC，再由正弦定理得，＝＝2.7、在△ABC中，角A，B，C的对边分别为a，b，c，若，，则．.【答案】：4【思路分析】本题第一步应将的条件化成正余弦的等式；第二步由于本题求是的三角形边长，所以将三角函数值等式转化为边长的等式；第三步：再结合解方程组即可.【解析】：解法一：由可得：，即，所以有，即由正、余弦定理可得：，即，又所以，即.解

4、法二：也可在，用余弦定理可得，解得，下同解法一.8、在△ABC中，角A，B，C所对边的长分别为a，b，c.已知a＋c＝2b，sinB＝sinC，则cosA＝________.【答案】　【解析】：由sinB＝sinC得b＝c.又因为a＋c＝2b，所以a＝c，因此cosA＝＝＝9、设△ABC的内角A，B，C的对边分别为a，b，c，已知＝，则cosA＝________．【答案】、　10、设△的内角，，的对边分别是，且满足，则▲．【答案】;.4解法1（正弦定理）根据正弦定理可得，即，又因为所以又因为，所以所以，则解法2（射影定理）因为及可得，，注意到，两式相除可得，再由

5、正弦定理可得解后反思：解三角形问题中若等式既有三角函数又有边，则可以考虑利用正弦定理或余弦定理转化为只含有边或只含有三角函数的等式处理.解法2则利用了三角形中的射影定理（教材必修5p17练习5）结合条件整体处理.11、在△ABC中，BC=，AC=1，以AB为边作等腰直角三角形ABD（B为直角顶点，C、D两点在直线AB的两侧）．当变化时，线段CD长的最大值为．【答案】3思路分析要求的长，只需将表示为的函数形式，然后应用三角函数知识来求它的最大值则可，因此在中应用余弦定理可得，再在中分别应用正弦定理、余弦定理得及，故，由此可得结果．【解析】：在中，由正弦定理得，由余

6、弦定理得．在中，由余弦定理得，故，即．【问题探究，变式训练】例1、.如图，在△ABC中，D是BC上的一点．已知∠B＝60°，AD＝2，AC＝，DC＝，则AB＝________.【答案】　【解析】：在△ACD中，因为AD＝2，AC＝，DC＝，所以cos∠ADC＝＝－，从而∠ADC＝135°，所以∠ADB＝45°.在△ADB中，＝，所以AB＝＝【变式1】、如图，在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝4，点D在边BC上，∠BAD＝45°，则tan∠CAD的值为________．【答案】　【解析】：从构造角的角度观察分析，可以从差的角度(∠CAD＝∠A－45°)，也可

7、以从和的角度(∠A＝∠CAD＋45°)，所以只需从余弦定理入手求出∠A的正切值，问题就迎刃而解了．解法1在△ABC中，AB＝3，AC＝2，BC＝4，由余弦定理可得cosA＝＝－，所以tanA＝－，于是tan∠CAD＝tan(A－45°)＝＝.解法2由解法1得tanA＝－.由tan(45°＋∠CAD)＝－得＝－，即＝－，解得tan∠CAD＝.【变式2】、ABCD(第15题)如图，在中，已知点在边上，，，，．（1）求的值；（2）求的长．【解析】：（1）在中，，，所以．同理可得，．所以．【变式3】、如图，在梯形ABCD中，已知AD∥BC，AD＝1，BD＝2，∠CAD＝

8、，tan∠ADC＝－2.