2020年高考数学一轮复习讲练测浙江版专题2.4指数与指数函数(讲)含解析

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1、2020年高考数学一轮复习讲练测(浙江版)第二章函数第04讲指数与指数函数---讲1.了解指数幂的含义,掌握有理指数幂的运算。2.理解指数函数的概念,掌握指数函数的图象、性质及应用.3.了解指数函数的变化特征.4.高考预测:(1)指数幂的运算;(2)指数函数的图象和性质的应用;(3)与指数函数相关,考查视图用图能力、数形结合思想的应用、函数单调性的应用、运算能力等5.备考重点:(1)有理指数幂的运算;(2)指数函数单调性的应用,如比较函数值的大小;(3)图象过定点;(4)底数分类讨论问题.知识点1.根式和分数指数幂1.根式(1)概念:式子叫做根式,其中n叫做根指数,a叫做被开方数.(

2、2)性质:()n=a(a使有意义);当n为奇数时,=a,当n为偶数时,=

3、a

4、=2.分数指数幂(1)规定:正数的正分数指数幂的意义是a=(a>0,m,n∈N*,且n>1);正数的负分数指数幂的意义是a-=(a>0,m,n∈N*,且n>1);0的正分数指数幂等于0;0的负分数指数幂没有意义.(2)有理指数幂的运算性质:aras=ar+s;(ar)s=ars;(ab)r=arbr,其中a>0,b>0,r,s∈Q.【典例1】计算:.【答案】.【解析】分析:直接利用指数幂的运算法则求解即可,求解过程注意避免计算错误.详解:.【规律方法】化简原则:①化根式为分数指数幂;②化负指数幂为正指数幂;

5、③化小数为分数;④注意运算的先后顺序.【变式1】计算:×0+×-=________.【答案】【解析】原式=×1+×-.知识点2.指数函数的图象和性质(1)概念:函数y=ax(a>0且a≠1)叫做指数函数,其中指数x是变量,函数的定义域是R,a是底数.(2)指数函数的图象与性质a>100时,y>1;当x<0时,01;当x>0时,0

6、答案】D【解析】∵,∴,∴函数需向下平移个单位,不过(0,1)点,所以排除A,当时,∴,所以排除B,当时,∴,所以排除C,故选D.【重点总结】1.对于有关指数型函数的图象问题,一般是从最基本的指数函数的图象入手,通过平移、伸缩、对称变换而得到.特别地,当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论.2.判断指数函数图象上底数大小的问题,可以先通过令x=1得到底数的值再进行比较.3.函数图象的辨识可从以下方面入手:(1)从函数的定义域,判断图象的左右位置;从函数的值域,判断图象的上下位置.(2)从函数的单调性,判断图象的变化趋势;(3)从函数的奇偶性,判断图象的对称性;(4)从函数的特征

7、点,排除不合要求的图象.【变式2】(2019·安徽高三高考模拟(文))函数的图象是()A.B.C.D.【答案】A【解析】,可得f(0)=1,排除选项C,D;由指数函数图像的性质可得函数f(x)>0恒成立,排除选项B,故选:A【典例3】(2019·天津河西区一模)已知f(x)=

8、2x-1

9、,当a<b<c时,有f(a)>f(c)>f(b),则必有(  )A.a<0,b<0,c<0B.a<0,b>0,c>0C.2-a<2cD.1<2a+2c<2【答案】D【解析】作出函数f(x)=

10、2x-1

11、的图象,如图所示,因为a<b<c,且有f(a)>f(c)>f(b),所以必有a<0,0<c<1,且

12、

13、2a-1

14、>

15、2c-1

16、,所以1-2a>2c-1,则2a+2c<2,且2a+2c>1,故选D.【变式3】(改编自2019·天津河西区一模)直线y=2a与函数y=

17、ax-1

18、(a>0且a≠1)的图象有两个公共点,则a的取值范围是什么?【答案】【解析】y=

19、ax-1

20、的图象是由y=ax先向下平移1个单位,再将x轴下方的图象沿x轴翻折过来得到的.当a>1时,两图象只有一个交点,不合题意,如图(1);当0<a<1时,要使两个图象有两个交点,则0<2a<1,得到0<a<,如图(2).综上,a的取值范围是.考点1根式、指数幂的化简与求值【典例4】化简的结果为(  )A.5B.C.﹣D.﹣5【答案

21、】B【解析】,故选【易错提醒】1.有理数指数幂的运算性质中,其底数都大于零,否则不能用性质来运算.2.结果要求:①若题目以根式形式给出,则结果用根式表示;②若题目以分数指数幂的形式给出,则结果用分数指数幂的形式表示;③结果不能同时含有根式和分数指数幂,也不能既有分母又有负分数指数幂.【变式4】计算:1.5-×0+80.25×+(×)6-【答案】【解析】原式=.考点2根式、指数幂的条件求值【典例5】已知则的值为__________.【答案】【解析】题意,∴,

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