2020年高考数学（理）一轮复习讲练测 专题2.6 指数与指数函数（讲） 含解析

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1、2020年高考数学（理）一轮复习讲练测专题2.6指数与指数函数1.了解指数函数模型的实际背景；2.理解有理指数幂的含义，了解实数指数幂的意义，掌握幂的运算；3.理解指数函数的概念及其单调性，掌握指数函数图象通过的特殊点，会画底数为2，3，10，，的指数函数的图象；4.体会指数函数是一类重要的函数模型。知识点一根式(1)概念：式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.(2)性质：()n＝a(a使有意义)；当n为奇数时，＝a，当n为偶数时，＝

2、a

3、＝知识点二分数指数幂(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；正数

4、的负分数指数幂的意义是a－＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.(2)有理指数幂的运算性质：aras＝ar+s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q.知识点三指数函数及其性质(1)概念：函数y＝ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是自变量，函数的定义域是R，a是底数.(2)指数函数的图象与性质a>100时，y>1；当x<0时，01；当x>0时，0

5、1在(－∞，＋∞)上是增函数在(－∞，＋∞)上是减函数【特别提醒】1.画指数函数y＝ax(a>0，且a≠1)的图象，应抓住三个关键点：(1，a)，(0，1)，.2.在第一象限内，指数函数y＝ax(a>0且a≠1)的图象越高，底数越大.考点一　指数幂的运算【典例1】（2019·河北邯郸一中模拟）化简＋2－2·－(0.01)0.5【解析】＋2－2·－(0.01)0.5＝1＋×－＝1＋×－＝1＋－＝【答案】【方法技巧】1.指数幂的运算首先将根式、分数指数幂统一为分数指数幂，以便利用法则计算，但应注意：(1)必须同底数幂相乘，指数才能相加；(2)运算的先后顺

6、序.2.当底数是负数时，先确定符号，再把底数化为正数.3.运算结果不能同时含有根号和分数指数，也不能既有分母又含有负指数.【变式1】（2019·湖南岳阳一中模拟）化简[(0.064)－2.5]－－π0；【解析】[(0.064)－2.5]－－π0＝－－1＝－－1＝－－1＝0.【答案】0考点二指数函数的图像及其应用【典例2】（2019·辽宁葫芦岛高级中学模拟）函数y＝ax－a－1(a＞0，且a≠1)的图象可能是(　　)【答案】D　【解析】函数y＝ax－是由函数y＝ax的图象向下平移个单位长度得到的，A项显然错误；当a＞1时，0＜＜1，平移距离小于1，所以

7、B项错误；当0＜a＜1时，＞1，平移距离大于1，所以C项错误．故选D.【方法技巧】有关指数函数图象问题的解题思路(1)已知函数解析式判断其图象，一般是取特殊点，判断选项中的图象是否过这些点，若不满足则排除．(2)对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．(3)有关指数方程、不等式问题的求解，往往是利用相应的指数型函数图象，数形结合求解．(4)根据指数函数图象判断底数大小的问题，可以通过直线x＝1与图象的交点进行判断．【变式2】（2019·山西

8、平遥中学模拟）已知f(x)＝

9、2x－1

10、，当a＜b＜c时，有f(a)＞f(c)＞f(b)，则必有(　　)A．a＜0，b＜0，c＜0　　　　B．a＜0，b＞0，c＞0C．2－a＜2cD．1＜2a＋2c＜2【答案】D【解析】作出函数f(x)＝

11、2x－1

12、的图象如图所示，因为a＜b＜c，且有f(a)＞f(c)＞f(b)，所以必有a＜0，0＜c＜1，且

13、2a－1

14、＞

15、2c－1

16、，所以1－2a＞2c－1，则2a＋2c＜2，且2a＋2c＞1，故选D。考点三比较指数式的大小【典例3】（2019·上海延安中学模拟）设a＝0.60.6，b＝0.61.5，c＝1.50.

17、6，则a，b，c的大小关系是(　　)A．a＜b＜cB．a＜c＜bC．b＜a＜cD．b＜c＜a【答案】C　【解析】因为函数y＝0.6x在R上单调递减，所以b＝0.61.5＜a＝0.60.6＜1.又c＝1.50.6＞1，所以b＜a＜c.【方法技巧】利用指数函数的性质比较幂值的大小，先看能否化成同底数，能化成同底数的先化成同底数幂，再利用函数单调性比较大小，不能化成同底数的，一般引入“1”等中间量比较大小；【变式3】（2019·江苏扬州中学模拟）已知f(x)＝2x－2－x，a＝，b＝，c＝log2，则f(a)，f(b)，f(c)的大小关系为(　　)A．f(

18、b)＜f(a)＜f(c)　　B．f(c)＜f(b)＜f(a)C．f(c)＜f(a)＜f(b)D．f(b)＜f