（浙江专用）高考数学一轮复习讲练测专题2.4指数与指数函数（讲）（含解析）

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1、第04讲指数与指数函数---讲1.了解指数幂的含义，掌握有理指数幂的运算。2．理解指数函数的概念，掌握指数函数的图象、性质及应用.3.了解指数函数的变化特征.4.高考预测：（1）指数幂的运算；（2）指数函数的图象和性质的应用；（3）与指数函数相关，考查视图用图能力、数形结合思想的应用、函数单调性的应用、运算能力等5.备考重点：（1）有理指数幂的运算；（2）指数函数单调性的应用，如比较函数值的大小；（3）图象过定点；（4）底数分类讨论问题.知识点1．根式和分数指数幂1.根式(1)概念：式子叫做根式，其中n叫做根指数，a叫做被开方数.(2

2、)性质：()n＝a(a使有意义)；当n为奇数时，＝a，当n为偶数时，＝

3、a

4、＝2.分数指数幂(1)规定：正数的正分数指数幂的意义是a＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；正数的负分数指数幂的意义是a－＝(a>0，m，n∈N*，且n>1)；0的正分数指数幂等于0；0的负分数指数幂没有意义.(2)有理指数幂的运算性质：aras＝ar＋s；(ar)s＝ars；(ab)r＝arbr，其中a>0，b>0，r，s∈Q.【典例1】计算：．【答案】.【解析】分析：直接利用指数幂的运算法则求解即可,求解过程注意避免计算错误.详解：．【规律方法】化简原则

5、：①化根式为分数指数幂；②化负指数幂为正指数幂；③化小数为分数；④注意运算的先后顺序．【变式1】计算：×0＋×－＝________.【答案】【解析】原式＝×1＋×－.知识点2．指数函数的图象和性质(1)概念：函数y＝ax(a>0且a≠1)叫做指数函数，其中指数x是变量，函数的定义域是R，a是底数.(2)指数函数的图象与性质a>100时，y>1；当x<0时，01；当x>0时，0

6、函数【典例2】（2019·华东师大二附中前滩学校高三月考）函数的图象可能是（）．A．B．C．D．【答案】D【解析】∵，∴，∴函数需向下平移个单位，不过（0,1）点，所以排除A，当时，∴，所以排除B，当时，∴，所以排除C，故选D.【重点总结】1.对于有关指数型函数的图象问题，一般是从最基本的指数函数的图象入手，通过平移、伸缩、对称变换而得到．特别地，当底数a与1的大小关系不确定时应注意分类讨论．2.判断指数函数图象上底数大小的问题，可以先通过令x＝1得到底数的值再进行比较．3.函数图象的辨识可从以下方面入手：(1)从函数的定义域，判断图

7、象的左右位置；从函数的值域，判断图象的上下位置．(2)从函数的单调性，判断图象的变化趋势；(3)从函数的奇偶性，判断图象的对称性；(4)从函数的特征点，排除不合要求的图象.【变式2】（2019·安徽高三高考模拟（文））函数的图象是（）A．B．C．D．【答案】A【解析】，可得f(0)=1,排除选项C,D;由指数函数图像的性质可得函数f(x)>0恒成立，排除选项B，故选：A【典例3】(2019·天津河西区一模)已知f(x)＝

8、2x－1

9、，当a＜b＜c时，有f(a)＞f(c)＞f(b)，则必有(　　)A．a＜0，b＜0，c＜0B．a＜0，b

10、＞0，c＞0C．2－a＜2cD．1＜2a＋2c＜2【答案】D【解析】作出函数f(x)＝

11、2x－1

12、的图象，如图所示，因为a＜b＜c，且有f(a)＞f(c)＞f(b)，所以必有a＜0,0＜c＜1，且

13、2a－1

14、＞

15、2c－1

16、，所以1－2a＞2c－1，则2a＋2c＜2，且2a＋2c＞1，故选D.【变式3】（改编自2019·天津河西区一模）直线y＝2a与函数y＝

17、ax－1

18、(a＞0且a≠1)的图象有两个公共点，则a的取值范围是什么？【答案】【解析】y＝

19、ax－1

20、的图象是由y＝ax先向下平移1个单位，再将x轴下方的图象沿x轴翻折过来得到的．

21、当a＞1时，两图象只有一个交点，不合题意，如图(1)；当0＜a＜1时，要使两个图象有两个交点，则0＜2a＜1，得到0＜a＜，如图(2)．综上，a的取值范围是.考点1根式、指数幂的化简与求值【典例4】化简的结果为（　　）A．5B．C．﹣D．﹣5【答案】B【解析】，故选【易错提醒】1.有理数指数幂的运算性质中，其底数都大于零，否则不能用性质来运算．2.结果要求：①若题目以根式形式给出，则结果用根式表示；②若题目以分数指数幂的形式给出，则结果用分数指数幂的形式表示；③结果不能同时含有根式和分数指数幂，也不能既有分母又有负分数指数幂．【变式4

22、】计算：1.5－×0＋80.25×＋(×)6－【答案】【解析】原式＝.考点2根式、指数幂的条件求值【典例5】已知则的值为__________．【答案】【解析】题意，∴，∴，故答案为．【总结提升】根式、指数幂的条件求值，是