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《吴堡县吴堡中学高中数学第一章等比数列的通项与求和典型例题剖析素材北师大版必修5》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、等比数列的通项与求和一、知识导学1.等比数列：一•般地，如果一个数列从第2项起，每一项与它的前一项的比都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等比数列，这个常数叫做等比数列的公比,公比通常用字母q表示.的等比屮项.（q=1）（E）因此q也不为0.2.等比中项：若a,G,b成等比数列，则称G为a和b3.等比数列的前n项和公式：_a-afrq1-q1-q二、疑难知识导析1.由于等比数列的每一项都可能作分母，故每一项均不为0,2.对于公比q,要注意它是每一项与它前一项的比，防止把相邻两项的比的次序颠倒.3.“从第2项起”是
2、因为首项没有“前一项”，同时应注意如果一个数列不是从第2项起，而是从第3项或第4项起每一项与它前一•项的比都是同一个常数，此数列不是等比数列，这吋可以说此数列从.第2项或第3项起是一个等比数列.4•在已知等比数列的&和q的前提下,利用通项公式a„=aiqnl,可求出等比数列中的任一项.5.在已知等比数列屮任意两项的前提下，使用时眄小可求等比数列屮任意一项.6.等比数列｛&｝的通项公式an=aiq"1nJ'改写为an=—-qn.当q>0,JlqH1时，y二q"q是一个指数函数，而〉，=鱼是一个不为0的常数与指数函数
3、的积，因此等比数列｛%｝q的图象是函数）心二①的图象上的一群孤立的点.q7.在解决等比数列问题时，如己知，卸d,S「n小任意三个，可求其余两个。三、经典例题导讲［例1］已知数列血｝的前n项之和Sn=aqn（dHO,qHl,q为非零常数），则仏｝为（）。A.等差数列B.等比数列C.既不是等差数列，也不是等比数列D.既是等差数列，又是等比数列错解：•・•an+{=Sn+[-Sn=aqn+[一aqn=aqn(q一1)••an=Sn-S“_]=aqn1(q—1)=q(常数)/.{an}为等比数列，即B。错因：忽略了二中隐
4、含条件n>l.正解：当n=1时,ai=Si=aq;当n>l时‘an=S“一S”_
5、=aqH~l(q-1)=q（常数）但•.•乞=g_1Hg.•・{%}既不是等差数列，也不是等比数列，选C。[例2]已知等比数列血}的前n项和记为S“，S1()=10,S沪70,则S‘k>等于.错解：S30二Sio•q1q2=7,q=±J7,二Sio=S30•q=±70^7.错因：是将等比数列中％Sa.一Sm,S3.-S加成等比数列误解为S・,S2m,S3•成等比数列.=10=702或严=-3(舍去)6（1-严）正解：由题意：<1-q
6、ed-严）i—g•••S七（―00.［例3］求和：a+aJ+a3+错解：a+a2+a3+•••+an=.1-a错因：是(1)数列｛『｝不一淀是等比数列，不能肓接套用等比数列前n项和公式(2)用等比数列前n项和公式应讨论q是否等于1.正解：当a=0时,a+a2+a3+---+an=0;当a=l时，a+a2+a3+•••+a"=n;.-an当aH1吋，a+a2+a3+.-a［例4］设a,b,c,d均为非零实数，(/+b2)d2-2b｛a+c)d+b2+c2=0,求证：a,b,c成等比数列月•公比为〃。证明：证法一
7、：关于d的二次方程$+/异_2b(d+c)6/+/异+c2=0有实根，・・・△=4沪(a+C)2一4(/+戸加2+c・2)n0,・・._©2_qc)2>°则必有：b2-ac=0f即b2=acf:.非零实数a,b,c成等比数列设公比为g,则b=aq,c=aq2代入(/+a2q2)d2-2aq｛a+aq2l+a2q2+a2q4=0V(^2+l^2^0,即d2卡“+q2=0,即d=q"°证法二V(a1+b2)d2-2b(a-｝-c)d^b2+c2=0：.(ci2d2-2abd+b2)+(b2d2-2bcd+c2)=0
8、:.(ad-b)2+(bd一c)2=0,ad=btbcl=cbcTayb,c,d非零，:•—=—=cloab［例5］在等比数列｛仇｝中，叽=3,求该数列両7项之积。解：=0肉XSXE2Vb42二b®=b2b6=b.b5,・・・前七项之积(32)?x3=37=2187［例6］求数列［nx—}^n项和解：5^1xi+2x-+3x-4—-两式相减:116X3+1-8X2+1-4X—s=2z,1111111HHHX2482"2灯-(1-—)22”1-丄2H+1J=2-丄-上”+172并一12斤••^=2（1-^--［例7
9、］从盛有质量分数为20%的盐水2kg的容器小倒出1血盐水,然后加入lkg水,以后每次都倒出lkg盐水，然后再加入lkg水,问：（1）第5次倒出的的lkg盐水中含盐多kg?（2）经6次倒出后,一共倒出多少kg盐?此时加lkg水后容器内盐水的盐的质量分数为多少?解：（1）每次倒出的盐的质最所成的数列为{/},则:«^i=0.2(kg),32——X0.2(kg),ci：i=(—
