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《典型例题剖析：等差数列的通项与求和》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、等差数列的通项与求和一、知识导学1.数列：按一定次序排成的一列数叫做数列.2.项：数列中的每一个数都叫做这个数列的项，各项依次叫做这个数列的第1项（或首项），第2项，…，第n项，•…3.通项公式：一般地，如果数列｛an｝的第n项与序号n之间的关系可以用一个公式来表示，那么这个公式叫做这个数列的通项公式.4.有穷数列:项数有限的数列叫做有穷数列.5.无穷数列:项数无限的数列叫做无穷数列6.数列的递推公式：如果已知数列的第一项（或前几项）及相邻两项（或几项）间关系可以用一个公式来表示，则这个公式就叫
2、做这个数列的递推公式•递推公式是给出数列的一种重要方法，其关健是先求出如,32,然后用递推关系逐一写出数列中的项.7.等差数列:一般地，如果一个数列从第二项起，每一项减去它的前一项所得的差都等于同一个常数，那么这个数列就叫做等差数列，这个常数叫做等差数列的公差，公差通常用d表示.&等差中项:如果a,A,b这三个数成等差数列，那么A=《艺・我们把2“字叫做的的等差中项.二、疑难知识导析1•数列的概念应注意几点：（1）数列中的数是按一定的次序排列的，如果组成的数相同而排列次序不同，则就是不同的数列；
3、（2）同一数列中可以岀现多个相同的数；（3）数列看做一个定义域为正整数集或其有限子集（｛1,2,3,…,n｝）的函数.2.—个数列的通项公式通常不是唯一的.3•数列心｝的前n项的和％与"的关系…斗“（（：；；；•若适合an（n>2）,则色不用分段形式表示，切不可不求缶而直接求an.4、从函数的角度考查等差数列的通项公式：an=ai+(n-l)d=d-n+ard,an是关于n的一次式；从图像上看，表示等差数列的各点(n,%)均匀排列在一条直线上,由两点确定一条直线的性质，不难得出，任两项可以确定一
4、个等差数列.5、对等差数列的前n项之和公式的理解：等差数列的前n项之和公式可变形为Sn=—n2+(^-—)/?,若令A=—,B=ai——,则Sn=An2+Bn.6、在解决等差数列问题时，如已知，an，d,n中任意三个，可求其余两个。三、经典例题导讲［例1］己知数列1,4,7,10,3n+7,其中后一项比前一项大3.(1)指出这个数列的通项公式；(2)指出1+4+...+(3n—5)是该数列的前几项之和.错解：(1)an=3n+7;(2)1+4+...+(3n-5)是该数列的前n项之和.错因：误把
5、最后一项(含n的代数式)看成了数列的通项.(1)若令n=lg=10H1,显然3n+7不是它的通项.正解：(1)an=3n—2;⑵1+4+...+(3n-5)是该数列的前n—l项的和.［例2］已知数列仏｝的前〃项Z和为①Sn=2n2-n②=n2+n+l求数列｛%｝的通项公式。错解：①=2n2—ft—2(/?—l)2+(h—1)=4n—3②an=h2+77+1-(/I-1)2-(n-1)-1=2n错因：在对数列概念的理解上，仅注意了亦=乳一Sn“与的关系，没注意a尸Si.正解：①当川=1时'G］=S
6、］=1当刃》2吋，atl=2rr-n-2(n-1)2+(fi-1)=4n-3经检验〃时a｝=1也适合，.•.色=4斤-3②当n=i时，q=S］=3当刃n2时，an=/i24-n4-1-(n-1)2-(n-1)-1=2nO=1)5>2)［例3］已知等差数列｛色｝的前II项之和记为Sn，Sio=lO,S3o=7O,则S40等于O错解：S3o=Sio*2d.d=30,S4o=S3o+d=100.错因:将等差数列中Sm,S2m—Sm,S3m—S2m成等差数列误解为Sm,Sgm,成等差数列.正解：由题意:
7、IO®+10x92d=1030®+30x29_2-d=702d」51540x39代入得S40=40®+x40d=120。2［例4］等差数列仏｝、｛仇｝的前n项和为Sn、Tn.若爼=求乞;Tn4〃+27b7错解：因为等差数列的通项公式是关于n的一次函数，故由题意令an=7n+1;bn=4n+27.7x7+1_10&7~4x7+27~H错因：误认为宇遗7x13+1_924xl3+2779［例5］已知一个等差数列血｝的通项公式an=25—5n,求数列｛
8、an
9、｝的前n项和;错解：由如 得nW5.・.
10、｛色｝前5项为非负，从第6项起为负，=(20—5az)(az—5)Sn=ai+a2+a3+a4+a5=50(n<5)当26时，Sn=Ia6I+Ia7I+Ia8I+•••+IanI50,n<5・••Sn=<(20-5/?)(/?-5)〔2n>6错因：一、把叱5理解为n=5,二、把“前n项禾IT误认为，从26起，啲和.正解：＜/7(45-5n)/匕,n<52(20-5力(刃-5)心、/50,n>62［例6］已知一个等差数列的前10项的和是310,前20项的和是1220,由此可以确定求其前n项和的公式
