2020版高考数学复习数列与数学归纳法高考专题突破三高考中的数列问题（第2课时）数列的综合问题教案理新人教A版

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1、第2课时　数列的综合问题题型一　数列与函数例1　数列{an}的前n项和为Sn，2Sn＝an＋1－2n＋1＋1，n∈N＋，且a1，a2＋5,19成等差数列.(1)求a1的值；(2)证明为等比数列，并求数列{an}的通项公式；(3)设bn＝log3(an＋2n)，若对任意的n∈N＋，不等式bn(1＋n)－λn(bn＋2)－6<0恒成立，试求实数λ的取值范围.解　(1)在2Sn＝an＋1－2n＋1＋1，n∈N＋中，令n＝1，得2S1＝a2－22＋1，即a2＝2a1＋3，①又2(a2＋5)＝a1＋19，②则由①②解得a1＝1.(2)当

2、n≥2时，由③－④得2an＝an＋1－an－2n，则＋1＝，又a2＝5，则＋1＝.∴数列是以为首项，为公比的等比数列，∴＋1＝×n－1，即an＝3n－2n.(3)由(2)可知，bn＝log3(an＋2n)＝n.当bn(1＋n)－λn(bn＋2)－6<0恒成立时，即(1－λ)n2＋(1－2λ)n－6<0(n∈N＋)恒成立.设f(n)＝(1－λ)n2＋(1－2λ)n－6(n∈N＋)，当λ＝1时，f(n)＝－n－6<0恒成立，则λ＝1满足条件；当λ<1时，由二次函数性质知不恒成立；当λ>1时，由于对称轴n＝－<0，则f(n)在[1，

3、＋∞)上单调递减，f(n)≤f(1)＝－3λ－4<0恒成立，则λ>1满足条件，综上所述，实数λ的取值范围是[1，＋∞).思维升华数列与函数的交汇问题(1)已知函数条件，解决数列问题，此类问题一般利用函数的性质、图象研究数列问题；(2)已知数列条件，解决函数问题，解题时要注意数列与函数的内在联系，掌握递推数列的常见解法.跟踪训练1　(2018·葫芦岛模拟)已知数列{an}满足a1＝1,2an＋1＝an，数列{bn}满足bn＝2－log2a2n＋1.(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)设数列{bn}的前n项和为Tn，求

4、使得2Tn≤4n2＋m对任意正整数n都成立的实数m的取值范围.解　(1)由a1＝1，＝，an≠0，∴{an}是首项为1，公比为的等比数列，∴an＝n－1.∴bn＝2－log22n＝2n＋2.(2)由(1)得，Tn＝n2＋3n，∴m≥－2n2＋6n对任意正整数n都成立.设f(n)＝－2n2＋6n，∵f(n)＝－2n2＋6n＝－22＋，∴当n＝1或2时，f(n)的最大值为4，∴m≥4.即m的取值范围是[4，＋∞).题型二　数列与不等式例2　已知数列{an}中，a1＝，其前n项的和为Sn，且满足an＝(n≥2).(1)求证：数列是等

5、差数列；(2)证明：S1＋S2＋S3＋…＋Sn<1.证明　(1)当n≥2时，Sn－Sn－1＝，整理得Sn－1－Sn＝2Sn·Sn－1(n≥2)，∴－＝2，从而构成以2为首项，2为公差的等差数列.(2)由(1)可知，＝＋(n－1)×2＝2n，∴Sn＝.∴当n＝1时，Sn＝<1，方法一　当n≥2时，Sn＝<·＝，∴S1＋S2＋S3＋…＋Sn<＋＝1－<1.∴原不等式得证.方法二　当n≥2时，<＝，∴S1＋S2＋S3＋…＋Sn<＋＝＋，<＋＝<1.∴原命题得证.思维升华数列与不等式的交汇问题(1)函数方法：即构造函数，通过函数的单调

6、性、极值等得出关于正实数的不等式，通过对关于正实数的不等式特殊赋值得出数列中的不等式；(2)放缩方法：数列中不等式可以通过对中间过程或者最后的结果放缩得到.跟踪训练2　已知数列{an}为等比数列，数列{bn}为等差数列，且b1＝a1＝1，b2＝a1＋a2，a3＝2b3－6.(1)求数列{an}，{bn}的通项公式；(2)设cn＝，数列{cn}的前n项和为Tn，证明：≤Tn<.(1)解　设数列{an}的公比为q，数列{bn}的公差为d，由题意得1＋d＝1＋q，q2＝2(1＋2d)－6，解得d＝q＝2，所以an＝2n－1，bn＝2

7、n－1.(2)证明　因为cn＝＝＝，所以Tn＝＝＝－，因为>0，所以Tn<.又因为Tn在[1，＋∞)上单调递增，所以当n＝1时，Tn取最小值T1＝，所以≤Tn<.题型三　数列与数学文化例3　我国古代名著《九章算术》中有这样一段话：“今有金锤，长五尺，斩本一尺，重四斤，斩末一尺，重二斤，中间三尺重几何.”意思是：“现有一根金锤，长5尺，头部1尺，重4斤，尾部1尺，重2斤，且从头到尾，每一尺的重量构成等差数列，问中间三尺共重多少斤.”(　　)A.6斤B.7斤C.8斤D.9斤答案　D解析　原问题等价于等差数列中，已知a1＝4，a5＝

8、2，求a2＋a3＋a4的值.由等差数列的性质可知a2＋a4＝a1＋a5＝6，a3＝＝3，则a2＋a3＋a4＝9，即中间三尺共重9斤.思维升华　我国古代数学涉及等差、等比数列的问题很多，解决这类问题的关键是将古代实际问题转化为现代数学问题，掌握等差、等比数列的概念、通项公式和前