2、何诲腐I丁分当口>3时・由P-M+lU+4r+1=6阳卄I—V(fl+a+!十十［加一匀Sa—3十寸山+“個一I).n_2=~~a>0FJD刃V?。，当上wa期也ArXOt/UP^ifligM当x€(r^+e
3、)»h/*W>0.海讽卫冷10分烁丄.当OV0M3时，r=2j当Q>J时.了=吐丄i理二M2....忙分2.设函数f(x)=bln(x+1)+x2(I)若对定义域的任意兀，都有/(x)>f(1)成立，求实数b的值;(II)若函数/(X)在定义域上是单调函数，求实数方的取值范围;(III)若b=—1,证明对任意的正整数n,不等式Vf(1)<1+丄+丄+......+-L都成立.tTk2333/?解:(1)由x+l>0得x>-l・・・f(x)的定义域为(-1,+8).对xe(-i,+8),都有f(x)Nf⑴.・・・f⑴是函数f(x)的最小值，故有¥(1)=0.bx+1解得b=・4.4分2x2+2x
4、+b⑵•••血)》山小又函数f(x)在定义域上是单调函数・・・/仪)$0或H(x)W0在(・1,+8)上恒成立.若P(x)20,Vx+l>0,/.2x2+2x+b^0在(-1,+上恒成立.即b^-2x2-2x=-2(%4--)2+-恒成立，由此得bM丄.6分222若P(x)<0,Vx+l>OzA2x2+2x+b^0,即bW・(2xS2x)恒成立,因-(2x2+2x)在(・1,+8)上没有最小值.综上所述，实数b的取值范圉是・•・不存在实数b使f(x)WO恒成立.L2丿(3)当b=・l时，函数f(x)=x2-ln(x+l)令函数h(x)=f(x)-x3=x2-ln(x+l)一x3.贝】Jhz(x
5、)=-3x2+2x-=.兀+1兀+1・••当XW[0,+8)时，hz(x)<0所以函数h(x)在XW[0,+oo)上是单调递减.10分又h(0)=0,•:当xe(0,+oo)时，恒有h(x)6、兀2北若)，使得/(兀2)=/(旺)成立？若存在，求£的值；若不存在，请说明理由.解析：(I)因P(x)=f(x)4-^(x)=X3+伙一l)x2+伙+5)-1,//(兀)=3〒+2伙一1)兀+伙+5),因〃(兀)在区间(0,3)上否单调,.所以/(%)=0在(0,3)上有实数解，且无重根，由/(%)=0得k(2x+l)=-(3兀2—2兀+5),(3x2-2x+5)_32x+l4,令/=2x+l,有虫(1,7),记9/2(/)=/+y,则加/)在(1,3]上单调递减，在[3,7)上单调递增，所以有/!(/)€[6,10),于<(2x+l)+—6[6,10),得展(—5,—2],而当k=-2时有
7、/(%)=0在(0,3)±有两I1个相等的实根尢=1,故舍去，所以/ce(-5,-2)；(II)当x<0时有g'(x)=/'(X)=3x2一2伙，一£+1)兀+5；当兀>0时有qx)=gx)=2k°己知函数/(x)=空”+a]nx,g(兀)=(q+1)兀(gh—1),H(x)=/(x)-g(x)o⑴若函数f(x)、g(x)在区间[1,2]上都为单调函数且它们的单调性相同，求实数a的取值范圉；(2)a、J3是函数H(%)的两个极值点，a8、H(x,)-//(x2)
9、<1成立x-^-k,因为当£=0时不合题
10、意，因此RhO,下面讨论£工0的情形，记A=y,+oo),B=(5,+oo)(i)当西>0时，"(x)在(0,+8)上单调递增，所以要使/(兀2)=/(西)成立，只能兀2<0且AcB,因此有k>5,(ii)当XjVO时,/(x)在(0,+x)上单调递减，所以要使qx2)=qxl)成立，只能x2>0_@»A匸B,因此k<5f综合(i)(ii)k=5；当k=5时A二B,则Vx1<0,^,(xi)g
