高中数学第三章三角恒等变换32简单的三角恒等变换例题与探究新人教A版必修4

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1、3.2简单的三角恒等变换典题精讲例1（江苏高考卷，14）cot20°coslO°+3sinl0°tan70°-2cos40°=思路分析：熟练运用三角公式计算求值，方法不拘泥，要注意灵活运用.cot20°coslO°+V3sin!O°tan70°-2cos40°coS20°+cosl0°+^sinlQ°sin70°_2cos40.sin20°cos70°cos20°cosl0o+^sinl0°cos20l2c°s40。sin20°cos20°(cosl0°+V3sin10°)o_2cos40sin20°2cos20°(cos10°sin30°+sin10°cos30°)、泌。

2、。sin20°2心20。血40。-2血20。心40。二2.sin20°答案：2绿色通道：在求三角的问题屮，要注意这样的规律，即“三看”：（1）看角，把角尽量向特殊角或可计算角转化，（2）看名称，把一道等式尽量化成同一名称或相近的名称，例如把所有的切都转化为相应的弦，或把所有的弦转化为相应的切，（3）看式子，看式子是否满足三角函数的公式.如果满足直接使用，如果不满足转化一下角或转换一下名称，就可以使用.变式训练1（福建高考卷，理1）tanl5°+cotl5°等于（）A.2B.2V3C.4思路解析:原式二也空+竺竺=曲15。+曲15。cos15°sin15°sin215°cos

3、215°答案：C变式训练2计算：cos^cos

4、cos

5、f.577思路分析：通过观察、分析已知式子中各角的特点，可先将cos—转化为sin—,然后再1212利用二倍角的正眩公式进行求解•将非特殊角转化为特殊角是求值常用的方法，也可将sin—转化为cos?£求解.1212解：原式二丄cos—sin兰二丄sin兰二一.21212468例2若sina盲,sinB普且a、B是锐角，求a+B的值.思路分析：可先求出u+B的某种三角函数值.解：Ta、B是锐角，・；cosa二J1—=—-3V1010・，V2•sin(a+B)二sinacos3+cosasin0=2又5孕*,sinB晋弓

6、，Va<30。,0。V0<30。.•°

7、・2271又Tcos(a+—)>0,•43龙一71171•——Wa+—V——・4443兀71171——cos2a二sin(2a+—)=2sin(a+—)cos(a+—)=24425兀7sin2a二-cos(—+2a)=l-2cos2(a+—)=——.2425，.原式出><(丄一厶=一連2252550例3(陕西高考卷，理17)已知函数f(x)二盯sin(2x-—)+2sin2(x-—)(xWR).612(1)求函数f(x)的最小正周期；(2)求使函数f(x)取得最大值的x的集合.思路分

8、析：对于形如asina+bcosa(a、b不同时为0)的式子引入辅助角变为Asin(a+(b)的形式，可进行三角函数的化简，求周期最值等.解：(1)f(x)=3sin(2x~—)+l-cos2(x~—)612=2sin2(x-W)-丄cos2(x-兰)]+1212212TT7T二2sin[2(x-—)-一]+1126=2sin(2x-?)+b・・・T王兀IT⑵当f(x)収最大值时3心亍口,有2x--=2kn+-,32即x=kn+—(kez).12、兀・•・所求X的集合为{xeR

9、x=kn+——(kez)}.12ttjr黑色陷阱：忽视题目小角与角的关系，(2x--)与(x-丝

10、)是二倍角的关系，从而思维受阻,612同时在三角变换上容易出现计算错误.变式训练(重庆高考卷，文17)f(x)=1+COS2%-asin-cos(n--)的最大值为2,试确人.厂、224sin(—+x)2定常数a的值.思路分析：首先分析已知函数式的特点和角的特点，再根据三角关系式对f(x)进行化简，再來确定常数.解:f(x)=1+cos2x4sin(—+x)JVX-asin—cos(n一一)222cos2x•兀x1a・+asin—cos—二一cosx+—sinx4cosx2222存耳EE)(其中tan帖a).由题意