【解析版】中考数学名师点拨：数形结合问题-知识讲解（基础）及答案解析-用于合并

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1、中考冲刺：数形结合问题一知识讲解(基础)【中考展望】1.用数形结合的思想解题可分两类：(1)利用几何图形的直观性表示数的问题，它常借用数轴、函数图象等；(2)运用数量关系来研究儿何图形问题，常常要建立方程(组)或建立函数关系式等.2.热点内容：在初中教材中，“数”的常见表现形式为：实数、代数式、函数和不等式等，而"形”的常见表现形式为：直线型、角、三角形、四边形、多边形、圆、抛物线、相似、勾股定理等.在直角坐标系下，一次两数图彖对应一条直线，二次两数的图像对应着一条抛物线，这些都是初中数学的重要内容.【方法点拨】

2、数形结合：就是通过数与形之I'可的对应和转化来解决数学问题,它包含“以形助数”和“以数解形”两个方面.利用它可使复杂问题简单化，抽象问题具体化,它兼有“数的严谨”与“形的直观”之长，是优化解题过程的重要途径之一，是一种基本的数学方法.数形结合解题基本思路：“数”和“形”是数学屮两个最基木的概念，每一个儿何图形中都蕴含着与它们的形状、大小、位置密切相关的数量关系；反之，数量关系乂常常可以通过几何图形做出直观地反映和描述.数形结合的实质就是将抽象的数学语言与直观的图形结合起來，使抽象思维和形象思维结合起來，在解决代数

3、问题时，想到它的图形，从而启发思维,找到解题之路；或者在研究图形时，利用代数的知识，解决儿何的问题.实现了抽象概念与具体图形的联系和转化，化难为易，化抽象为直观.特别是二次函数，不仅是学生学习的难点之一，同时也使数形结合的思想方法在中学数学中得到最充分体现.在平面直角坐标系中，二次函数图象的开口方向、顶点坐标、对称轴以及与坐标轴的交点等都与其系数a,b,c密不可分.事实上，a的符号决定抛物线的开口方向,b与a—起决定抛物线的对称轴的位置，c决定了抛物线与y轴的交点位置，与a、b一起决定抛物线顶点坐标的纵坐标，抛物

4、线图形的平移，只是顶点坐标发生变化，其实从代数的角度看是b、c的有关变化.在日常的数学学习中应注意养成数形相依的观念，有意识培养数形结合思想，形成数形统一意识，提高解题能力.“数缺形时少直观，形缺数时难入微•”总之，要把数形结合思想贯穿在数学学习中.数与形及其相互关系是数学研究的基本内容.【典型例题】类型一、利用数形结合探究数字的变化规律*1.如图所示，把同样大小的黑色棋子摆放在正多边形的边上，按照这样的规律摆下去,则第n个图形需要黑色棋子的个数是.第1个图形第2个图形【思路点拨】首先计算几个特殊图形，发现：数出

5、每边上的个数，乘以边数，但各个顶点的重复了一次，应再减去.第1个图形是2X3-3,第2个图形是3X4-4,第3个图形是4X5-5,按照这样的规律摆下去，则第n个图形需要黑色棋子的个数是(n+1)(n+2)-(n+2)=『+2门.【答案与解析】第1个图形是三角形，有3条边，每条边上有2个点,重复了3个点，需要黑色棋(2X3-3)个；第2个图形是四边形，有4条边，每条边上有3个点，重复了4个点，需要黑色棋子(3X4-4)个；第3个图形是五边形，有5条边，每条边上有4个点，重复了5个点，需要黑色棋子(4X5-5)个；按

6、照这样的规律摆下去，则第n个图形需要黑色棋子的个数是(n+1)(n+2)-(n+2)=n(n+2).故答案为n(n+2)=n2+2n.【总结升华】这样的试题从最简单的图形入手•找出图形中黑点的个数与第n个图形之间的关系，找规律需要列出算式，一律采用原题中的数据，不要用到计算出来的结果来找规律.举一反三：【变式】用棋子按下列方式摆图形，依照此规律，第n个图形比第(n-1)个图形多枚棋子.那1个第2个第3个【答案】解：设第n个图形的棋子数为S”.第1个图形，SfI；第2个图形，S2=l+4；第3个图形,S产1+4+7

7、；第n个图形,SFl+4+・・・+3n-2；第(n-1)个图形,Sn-i二1+4+・・・+[3(n-1)-2]；则第n个图形比第(n-1)个图形多(3n-2)枚棋子.类型二、利用数形结合解决数与式的问题.己知实数a、b、c在数轴上的位置如图所示，化®

8、a+b

9、-

10、c-b

11、的结果是().••••Aca0bA.a+cB.-a-2b+cC.a+2b-cD._a~c【思路点拨】首先从数轴上b^c的位置关系可知：c0且

12、b

13、>

14、a

15、,接着可得a+b>0,c-b<0,然后即可化简

16、a+b

17、-

18、c-b

19、可得结果.

20、具体步骤为：①a,b,c的具体位置，在原点左边的小于0,原点右边的大于0.②比较绝对值的大小.

21、a

22、<

23、c

24、<

25、b

26、.③化简原式中的每一部分，看看绝对值内部(二次根式中的被开方数的底数)的性质，若大于零，直接提出来，若小于零，则取原数的相反数•④进行化简计算，得出最后结果.【答案与解析】解：从数轴上a、b、c的位置关系可知：c0且

27、b

28、>

29、a

30、,故a+b>0