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《《微积分教学资料》33泰勒公式》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、1.按X—4的幕展开多项式/(x)=x4-5x3+x2-3x4-4o【解】套用泰勒公式：由于广(兀)=4十一15〒+2兀—3,广G)=12兀2_30兀+2,厂0)=24兀—30,/%)=24,f(k)(x)=0(k5),于是得：y(4)=44-5x43+42-3x4+4=-56,/•(4)=4x43-15x42+2x4-3=21厂(4)=12x4?-30x4+2=74,/74)=24x4-30=66,严⑷=24,/伙)(4)=0()t>5),即有:/(x)=x4-5x3+x2-3x+4746624=-56+21(x-4)+—(x-4)2+—(%-4)3+—(x-4)42!3!
2、4!=-56+2l(x-4)+37(x-4)24-1l(x-4)3+(x-4)4。2.求函数/(x)=仮按兀-4的幕展开的带有拉格朗日型余项的三阶泰勒公式。丄1_丄13二【解】由于/(x)=x2,/*(x)=-x2,/,J(x)=--x2,/m(x)=-x2,248/⑷(兀)=_2兀2,16丄1_丄]1--1有/(4)=42=2,厂(4)=—・42=_,/X4)=—-42=一一24432套用n阶泰勒公式fM=/（尤（））+广（x（））（x_x（））+厶申必（兀_x（））2+/严）（兀_兀（）尸—卜理血m（兀）(H+1)!其中恥）=严［4+如一4）］（_和严［4+如—4）］心）=
3、—--H7（0<0<1）。1oft1［4_0（兀_4）］21.求函数f（x）=丄按x+1的幕展开的带有拉格朗日型余项的n阶泰勒公式。【解】由于/(%)=-=x-1,fx)=-x-2,fn(x)=(-l)(-2)x-3,/,,,（x）=（-l）（-2）（-3）x-4,……,得严）（兀）=（一1）"厂旳=壽,有/（"）（_1）=（_1）“（_1）-（“+
4、）二_1,于是，套用n阶泰勒公式/（x）=/Oo）+广（心）（兀一兀0）+'（兀一怎尸+‘上"）（兀一兀0尸+…得二="—I工(X+1)*⑴i=nK!（一1严RE产"(Ov&vl)。1.求函数/(x)=兀『的带有佩亚诺型余项的n
5、阶麦克劳林公式。【解】由于/(x)=4-xex=(x+V)ex,f'(x)=(x+2)ex,f'x)=(x+3)ex,得/(rt)(x)=(x+n)eA,从而得/(M)(0)=^°=n,于是，套用带有佩亚诺型余项的n阶麦克劳林公式/U)=/(0)+/W+了xrz界5.验证当0vxS—吋，按公式^-l+x+—+—计算/的近似值吋，所产生的误差小26于0.01,并求血（原题误为頁）的近似值，使误差小于0.01o【解】⑴『带有拉格朗日型余项的n阶麦克劳林公式为+—-—-x电=1+X+2!+3?+，，，+_^!+(/t+l)!X按公式“-1+%+—+—计算/的近似值吋，其误差傀=「川
6、，+■■-+——x"+o(x")73n得到加=o+“才+…+/+X)=x+—x+xn+)当0v尢5—时，其误差
7、/?3〔二2⑵将2亍代入上面的近似公式，得到误差小于呦的近似值:2!(h-1)!6.利用泰勒公式求下列极限:(1)lim(Vx+3x-a/x【课木后的答案错为2-2x3)；【解】要利用泰勒公式，首先要将无穷大转化为无穷小:lim(>/x3+3x-a/x4-2x3)=+2-x^/1-—)XT8XT811•a/1+3w"-/l—2w—=ulimx“to然后，利用(1+兀尸=1+7WC+"⑷一DF*。(兀2),得Ml+3/=1+丄•3/+3_J——(3/)2+o(/)二1
8、+/一/+o(/)32!1+/+o(ir)；113y/l~2u=1—(—2")(—2弘)〜+o(%2)=1—u—w2+)42!28o13“tO卄r旳+3/-[1+/+。(/)]一[1-产-尹+(心2)]于是lim=lim乙°“TOU1112」2—UHU+O(U)lim—"TOUj_2下面用洛必达法则验证:_3vVl+3w2-Vl-2wlim“tO-(l+3w2p-6w--(l-2w)(-2)lim・“TO1卄存(一2)吩】1+丄兀2一丁1+兀2⑵lim———三go(cosx-ev)sinx2/v2r4r6【解】由于20时，sin宀宀&+。的,cosx=l--+---+^);k
9、lns(%lxsoo)020"Zu三ih+t—xt+i、/&az>r^+「+一HI冒(ZIT)(-IT)T(一IT)T、/imaz(m+「"E+(z—)(1—)丨(I—)—c11n、/iEiZ、丿(g+N(7lgulIWSI+H^^+w+一J(：一)-ffiif7o丄=O—T一丄一一(9x)o+>弗:i9O££zFx)o+J—k=(93o+YT7TI~iTFI^F—」H9X$>II{2=1——"c八7E=Ii9OTX—H9e」：i9i寸Q二Hu-S二(9x)ou+x+-tl(3o+-^i-^
