D33泰勒公式.ppt

《D33泰勒公式.ppt》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在教育资源-天天文库。

1、二、几个初等函数的麦克劳林公式第八节一、泰勒公式的建立三、泰勒公式的应用—应用用多项式近似表示函数理论分析近似计算泰勒(Taylor)公式特点:一、泰勒公式的建立以直代曲在微分应用中已知近似公式:需要解决的问题如何提高精度?如何估计误差?x的一次多项式1.求n次近似多项式要求:故令则2.余项估计令(称为余项),则有公式①称为的n阶泰勒公式.公式②称为n阶泰勒公式的拉格朗日余项.泰勒中值定理:阶的导数,时,有①其中②则当公式③称为n阶泰勒公式的佩亚诺(Peano)余项.在不需要余项的精确表达式时,泰勒公式可写为注意到

2、③④特例:(1)当n=0时,泰勒公式变为(2)当n=1时,泰勒公式变为给出拉格朗日中值定理可见误差称为麦克劳林（Maclaurin）公式.则有在泰勒公式中若取则有误差估计式若在公式成立的区间上由此得近似公式二、几个初等函数的麦克劳林公式其中其中类似可得其中其中已知其中类似可得三、泰勒公式的应用1.在近似计算中的应用误差M为在包含0,x的某区间上的上界.需解问题的类型:1)已知x和误差限,要求确定项数n;2)已知项数n和x,计算近似值并估计误差;3)已知项数n和误差限,确定公式中x的适用范围.已知例1.计算无理数e的

3、近似值,使误差不超过解:令x=1,得由于欲使由计算可知当n=9时上式成立,因此的麦克劳林公式为例2.用近似公式计算cosx的近似值,使其精确到0.005,试确定x的适用范围.解:近似公式的误差令解得即当时,由给定的近似公式计算的结果能准确到0.005.2.利用泰勒公式求极限例3.求解:由于用洛必塔法则不方便!用泰勒公式将分子展到项,3.利用泰勒公式证明不等式例4.证明证:内容小结1.泰勒公式其中余项当时为麦克劳林公式.2.常用函数的麦克劳林公式3.泰勒公式的应用(1)近似计算求极限,证明不等式等.(2)思考与练习计

4、算解:原式由题设对证:备用题1.有且下式减上式,得令两边同乘n!=整数+假设e为有理数(p,q为正整数),则当时,等式左边为整数;矛盾!2.证明e为无理数.证:时,当故e为无理数.等式右边不可能为整数.