高数d33泰勒公式99499

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1、二、几个初等函数的麦克劳林公式第三节一、泰勒公式的建立应用目的－用多项式近似表示函数.理论分析近似计算泰勒公式第三章特点:一、泰勒公式的建立以直代曲在微分应用中已知近似公式:需要解决的问题如何提高精度?如何估计误差?x的一次多项式以的近似计算为例.线性逼近优点:形式简单，计算方便；一次（线性）逼近利用微分近似计算公式，对附近的,的线性逼近为:不足：离原点O越远，近似度越差.y=1yx1-1二次逼近期望：二次多项式逼近它要比线性逼近好得多，但局限于内.二次逼近为,可以看出，y=1yx1-1八次逼近八次多项式逼近令：,求出…………比在更大的范围内更接近余弦函数.y=1yx1-11.试

2、求一个关于x–x0的n次多项式Pn(x)=a0+a1(x–x0)+a2(x–x0)2+…+an(x–x0)n使Pn(x)能在x0的附近近似表示f(x).要求：需要解决两个问题:2.误差f(x)–Pn(x)的表达式（误差估计）.设f(x)在的某邻域内有直到n+1阶导数.1.求n次近似多项式要求:故令则2.余项估计令(称为余项),则有公式①称为的n阶泰勒公式.公式②称为n阶泰勒公式的拉格朗日余项.泰勒(Taylor)中值定理:阶的导数,时,有①其中②则当公式③称为n阶泰勒公式的佩亚诺(Peano)余项.在不需要余项的精确表达式时,泰勒公式可写为注意到③④特例:(1)当n=0时,泰勒公

3、式变为(2)当n=1时,泰勒公式变为给出拉格朗日中值定理可见误差称为麦克劳林(Maclaurin)公式.则有在泰勒公式中若取则有误差估计式若在公式成立的区间上由此得近似公式二、几个初等函数的麦克劳林公式其中麦克劳林公式其中麦克劳林公式麦克劳林公式类似可得其中其中麦克劳林公式已知其中因此可得麦克劳林公式内容小结1.泰勒公式其中余项当时为麦克劳林公式.2.常用函数的麦克劳林公式(P142~P144)作业P1454.泰勒多项式逼近6422464224O泰勒多项式逼近642246O4224