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1、几个初等函数的Maclaulin公式小结思考题泰勒(Taylor)（英）1685-1731其它应用3.3泰勒(Taylor)公式Taylor公式的建立简单的,多项式函数特点(1)易计算函数值;(2)导数与积分仍为多项式;(3)多项式由它的系数完全确定,又由它在一点的函数值及导数值确定.而其系数用怎样的多项式去逼近给定的函数?误差又如何呢?一、泰勒公式的建立熟悉的函数来近似代替复杂函数.—应用用多项式近似表示函数理论分析近似计算回忆微分一次多项式（如下图）如以直代曲需要解决的问题如何提高精度?如何估计误差?问题(1)系数怎
2、么定?(2)误差(如何估计)表达式是什么?不足1.精确度不高；2.误差不能定量的估计.希望一次多项式用适当的高次多项式nnnxxaxxaxxaaxP)()()()(0202010-++-+-+=L)(xf»猜想2.若有相同的切线3.若弯曲方向相同近似程度越来越好1.若在点相交1.n次多项式系数的确定得假设同理代入中得nnnxxaxxaxxaaxP)()()()(0202010-++-+-+=L称为f(x)的泰勒多项式来逼近并估计它的误差.下面将证明确实可以用函数泰勒多项式.泰勒(Taylor)中值定理其中余项2.泰勒(T
3、aylor)中值定理多项式,)1(),()()(0阶导数内有在若+Înbaxxf,),(时则当baxÎ次的一个可表为nxxxf)()(0-:)(之和与一个余项xRn(书上第141页定理3.7)注泰勒公式就是拉格朗日中值公式.分析即证也即证其中)()(!)(00)(xRxxnxfnnn+-++L证令由要求柯西定理柯西定理用1次用2次如此下去,得可得即用n+1次柯西定理,)!1()(),()()1()1()1(+==+++nxxfxRnnnnj拉格朗日型余项带有拉格朗日型余项.次近似多项式nPeano型余项当对余项要求不高时
4、,带有Peano型余项可用Peano型余项1858-1932)皮亚诺(Peano,G.(意),),(时若baxÎMxfn<+
5、)(
6、)1(书上P209定理3.8对某个固定的n注1.泰勒公式就是拉格朗日中值公式.2.在泰勒公式中,这时的泰勒公式,即按x的幂(在零点)展开的泰勒公式称为:n阶泰勒公式麦克劳林(Maclaurin,C.(英)1698-1746)公式麦克劳林(Maclaurin)公式近似公式误差估计式为带有Lagrange型余项带有Peano型余项解代入上公式,得于是有的近似表达公式二、几个初等函数的Maclau
7、lin公式例麦克劳林公式.麦克劳林(Maclaurin)公式有误差估计式得到其误差其误差解例因为所以误差为泰勒多项式逼近类似地,有解练习一阶和三阶泰勒公式及相应的拉格朗日型余项.的一阶泰勒公式是其中三阶泰勒公式是常用函数的麦克劳林公式要熟记!带有Peano型余项例解用间接展开的方法较简便.两端同乘x,得解三、其它应用因为分母是4阶无穷小,所以只要将函数展开到4阶无穷小的项就足以定出所给的极限了.常用函数的泰勒展开求例型未定式例是x的几阶无穷小?解因故由于有显然,它是x的4阶无穷小.例.求解:由于用洛必塔法则不方便!用泰勒
8、公式将分子展到项,例.证明证:像这类估值问题常用泰勒公式.证例分析利用泰勒公式可以证明某些命题及不等式.带拉格朗日型余项的一阶泰勒公式,得(1)(2)即故四、小结多项式局部逼近.泰勒(Taylor)公式在近似计算中的应用.泰勒(Taylor)公式的数学思想熟记常用函数的麦克劳林公式;思考题12002年考研数学一,6分设函数的某邻域内具有一阶连续导数,是比h高阶的无穷小,试确定a,b的值.解所以因此当有此题亦可不用Taylor公式。的某邻域内具有一阶连续导数思考题2利用泰勒公式求极限思考题解答注：本题亦可用洛必达法则３次来
9、求极限须解决问题的类型:(1)已知x和误差界,要求确定项数n;(2)已知项数n和x,计算近似值并估计误差;(3)已知项数n和误差界,确定公式中x的五、近似计算与误差估计适用范围.例解五、近似计算与误差估计满足要求.计算的近似值,使其精确到0.005,试确定的适用范围.近似公式的误差例用近似公式解已知项数n和误差界,确定公式中x的适用范围.令解得即由给定的近似公式计算的结果能准确到0.005.
