矩阵分析指导2

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1、1・矩阵的广义逆定义：设雇5刈,若玉1飞(?e,使得对任意屁/?(/),x=Arh是方程组Ax=b的解,则称*是^的广义逆矩阵.定理：A-^A的广义逆矩阵oAA~A=A定理：设则：(1)(Ary=(A~)r,(Ah)-=(A-)h;(2)若4eC：：贝ILT=J*',且/■唯一；(3)(AAY=^A其中加几[0，2=0;(4)设SwC^m,Te则：(S/7X=厂少丫匕(5)AA-RA'A都是幕等矩阵，且：rank(?l)=rank(J^4~)=rank(A~A);(6)JeC：；"<=>ATA^En(7)AeC：xn^AA'=Em・定义：设力wCr若北飞G",^AA-A=A.A-A

2、A-=力-，则称/■是^的自反广义逆，记为力八定理：设；¥,沧05都是的广义逆，则Z=XAY^A的一个自反广义逆矩阵.定理：设/wC严汽G其中BeCr^CeC^1.并设矿，「分别是B和C的广义逆，贝U-=是^的自反广义逆.2•矩阵的伪逆定义:设若％+W(7X笃使AA+A=A,A+AA+=A(44+记=44+,(AU)H=AU,则称屮为4的伪逆矩阵，或称屮为Moore・Penro$e广义逆.定理：设/wC严+BC,其中BwC/%CeC严,贝I」:X=ch(cchybhbyxbh是4的伪逆矩阵.定理：/AeA的伪逆是唯一的.若血C/笔贝必+二才1性质：设则⑴⑷—；(2)(AAHy=(

3、AHyA^=(A^HA+;(3)(/H/)+=/+(/H)+=/+(/+)H;(4)A^AH(AAHy^{AHAyAH.例2：设力wCrmx,贝!是正定或正半定Hermite矩阵，BUgt/z使UHAHAU=diag(2n希，…，An)=A,其中&>0.试证:/+=UA^UHAH设NwC/g,的非零特征值，贝肛N+=UXA^UXHAH.其中力厂=diagU,,^,.・・，&),U*U严瑚瞬的另驛3•矩阵的广义逆与线性方程定理：设力wBe8,Z)e5巴则：AXB=Q有解oBA-B-^AA^DB~B=D有解情况下，X=〃-03-+Y-A-AYBB^方程的通解，其中F为任意"心矩阵.推论1

4、:设力丘C"Z>eC"叫贝(J:AX=D有解0加-使44-0=/>,有解情况下，通解为X=/-Q+『-力勺匕其中KeC^为任意矩阵.推论2：设，虫(7皿，则：Ar=力有解<=>3A~^_AA~b=有解情况下，通解为x=A-b+(E_A-A)%其中wG为任意向量.定义：设虫/?(/)・称相容方程^Ax=b的所有解中，模长

5、*

6、

7、最小的解丘为最小模解，即：x*=argmin

8、

9、x

10、

11、,s.t.Ax=b•I定理：设/eO®,则：VZ>eR(A).x=B方是4r=〃之最小模解<=>ABA=A.(BA)H=BA定义：设力•称满足\AXQ一列2<

12、

13、^x一创

14、2,VXGCn的比为方程组4丫=方的

15、一个最小二乘解，即：x°=argmin

16、

17、74x—Z>

18、

19、2定理:设力wCwx/贝!J:VZfg6,方是4r=Z＞之最小二乘解oABA=A,(AB)H=AB定理：方程组=〃的最小二乘解的通解可表示为:x0=4+b+(E-/+Q必ye。为任意向量定义：设辰卩迅呢5•称方程组4丫=方的最小二乘解中模长]小者勺“为/x=〃的]：佳最小二乘解•即:x*=argmin

20、

21、x0

22、

23、2xos.t.{Axq一b『＜

24、

25、Ar-b『,VxeCn定理：设広5,贝!

26、x0*=A^h是方程组4r=〃的最佳最小二乘解.最佳二乘解求解步骤:⑴计算矩阵(2)计算特征矩^AE-AhA的非零特征值，特征向量t/1

27、=[w1---wr],Ar=^)=A®C+A®D+B®C+BED;(4)砲C)=⑸Ent®En=En®Em=Emn;(6)若儿〃均为上(下)三角阵，则A®B也为上(下)三角阵；(7)(7)若

28、力，〃均为Hermite矩阵，贝^A®B也为Humite矩阵；(8)若力，B均为方阵，则trace(/l®B)=trace(yl)trace(B)定理：设/!=(切)加灿B=(如)C=D=(bjq心则：(A®B)(C®D)=(AC)^(BD)定理:若N,〃均为正规矩阵，贝必也为正规矩阵定理：若/为加阶可逆方阵,B为71阶可逆方阵，则力也为可逆方阵，且定理：rank(y4®fi)=(ranlc4)(rankB)定理：｛xvx2<-,xn｝及…，儿