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《抽象函数问题山东省莱芜市第一中学刘志》由会员上传分享，免费在线阅读，更多相关内容在工程资料-天天文库。
1、抽象函数问题1、/(x+y)=/(x)+/(y),类比函数f(x)=kx类比正比例函数/(x)=kx的性质(1)、过原点/(x)=kx的图像过原点对应性质：已知函数于(力对任意x,yeR恒有/(x+y)=/(x)+/(j).求证/(0)=0证明：^x=y=0^/(0)=f(0)+f(0)，所以/(0)=0(2)、奇偶性/(x)=kx是奇函数对应性质:己知函数/(兀)对任意x.yeR恒有/(x+y)=f(x)+f(y).求证/(x)是奇函数。证明：在/(x+y)=/O)+/(y)中，令y二一兀得于(0)=/(兀)+于(一兀)=0,所以/(-x)=-f(x),即/(兀)是奇函数(3)/(x+y
2、)=/(%)+/(y)Of(x-y)=f(x)-f(y)证明略。(4)、单调性f{x)=kx,当£>0时,/(%)单调递增,当RvO时,f(x)单调递减对应性质己知函数/(兀)对任意x.yeR恒有/(兀+刃=/(兀)+/(刃，且当兀>0时/(兀)>0求证/(力在(+oo)单调递增证明一任取兀］,兀2并且0<兀］<兀2则兀2一兀1>0f(x2-%j)>0又由(2)知/(X)是奇函数所以f(x2-^)=/(兀2)+/(-召)二/(兀2)一/(兀1)>0-所以/(X)在(一8,+8)单调递增。证明二直接用(3)2、/(x+y)=/(x)/(y),类比函数/(x)=ax类比函数/(%)=/的性质(
3、1)f(x)=/过(0,1)对应性质：已知函数/(兀)对任意x,yeR恒有/(x+y)=/(x)/(y),并且于(兀)不恒为0,求/(0)解：因为/(%)不恒为0,不妨设f(a)#0,在/(x+y)=/(x)f(y)屮令x-a.y-0得f(a)=所以/(O)=1.(2)/(%)=a”满足/(%)/(-%)=1对应性质已知函数/(兀)对任意x.yeR恒有/(兀+y)=f(x)f(y).并且/(x)不恒为0,求证/(x)/(-x)=l证明在/（兀+刃=/（兀）/（刃中，令y=-x得，=/（0）=1f(y)(3)/(兀+刃=/(兀)/(y)o/(兀一y)=证明：在/(兀+y)=/(x)/(y)中
4、，以_y代y得：f(x-y)=f(x)f(-y)由⑵得/（卄盅所以心沪箫反之亦然。（4）单调性/（%）=/当d＞l时是增函数对应性质已知函数于（兀）对任意x,yeR恒有/（x+y）=/（x）/（y）；对任意xeRf/（%）＞0并且当兀＞0吋，/（X）＞1,求证/（X）在（-oo,4-oo）单调递增。证明一：任取曲,兀2并且占＜兀2则兀2一兀I＞°，/（兀2一兀1）＞1所以/（X2）=/（%!+兀2-西）=/G）/（£一西）＞/（西）.所以/（X）在（YO,+OO）单调递增。证明二：直接用（3）任取西,尤2并Hxi＜X2则X2-X{＞0,f（x2-）＞1所以/也―和二辛耳＞1又/（X）＞o,
5、所以/a）＞几g/（西）.所以/（X）在（-oo,+oo）单调递增。3、/（与）=/（兀）+/（刃，类比函数/（x）=logax类比函数/（x）=logflx的性质（1）/（x）=log“兀过点（1,0）对应性质已知函数/（兀）对任意x9yeR恒有/（Ay）=/（x）+/（y）,求证/（1）=0证明在/⑷)=/(兀)+^0)中,令x=y=l得“)=0(2)对于/(x)=logrt%,/(x)+/(-)=0X对应性质己知函数f(x)对任意R恒有/(小)=/(兀)+/(刃，求证/(%)+/(丄)=0X证明在f(xy)=f(x)+f(y)中,令』得/(I)=/(%)+/(-),由(1)知/(1)
6、=0XX所以/W+/(-)=0XX⑶/(小)=/(兀)+/(y)0/(-)=/W-/(j)yIr证明：在f(xy)=/(x)+f(y)中,以一代y得：/(—)=/(x)+/(—)yyy1Y由(2)知/(-)=-/(y)所以/(-)=/(x)-/(y)yy(4)当Q>1时，/(x)=og(lX是增函数对应性质函数/(x)对任意x,y>0恒有f(xy)=f(x)+f(y),当兀>1时f(x)>0/(-)>0证明一：任取XpX2并且0VX]V兀2/(兀2)=f(XlX—)=/(^)+/(巴)>/(X,)证明二：任取西,兀2并且0VXV兀2所以/(兀)在(0,+oo)上单调递增—>1f(―^-)
7、>0,又由(3)/(—)=/(x2)-/(^!)X}X]所以/(兀2)>，所以/(兀)在(0,+oo)上单调递增4、f(xy)=f(x)f(y),类比性质/(%)=xa类比函数/(%)=屮的性质(1)/(x)=屮满足过点(1,1)对应性质函数/(兀)对任意x,y>0恒有f(xy)=f(x)f(y),并且/(兀)不恒为0,求证/(I)=1证明因为/(兀)不恒为0,不妨设/⑺)H0,在/(xy)=/w/(y)中令x==1得f
