抽象函数问题(讲义习题)

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1、抽象函数问题抽象函数是指没有明确给出具体的函数表达式，只是给出一些特殊关系式的函数，它是中学数学中的一个难点，因为抽象，学生解题时思维常常受阻，思路难以展开。一.求某些特殊值这类抽象函数一般给出定义域，某些性质及运算式而求特殊值。其解法常用“特殊值法”，即在其定义域内令变量取某特殊值而获解，关键是抽象问题具体化。例1定义在R上的函数满足：且，求的值。例2已知函数对任意实数都有，且当时，，求在上的值域。二.求参数范围这类参数隐含在抽象函数给出的运算式中，关键是利用函数的奇偶性和它在定义域内的增减性，去掉“”符号

2、，转化为代数不等式组求解，但要特别注意函数定义域的作用。例3已知是定义在（）上的偶函数，且在（0，1）上为增函数，满足，试确定的取值范围。4例4已知是定义在上的减函数，若对恒成立，求实数的取值范围。三.解不等式这类不等式一般需要将常数表示为函数在某点处的函数值，再通过函数的单调性去掉函数符号“”，转化为代数不等式求解。例5已知函数对任意有，当时，，，求不等式的解集。四.证明某些问题例6设定义在R上且对任意的有，求证：是周期函数，并找出它的一个周期。4例7已知对一切，满足，且当时，，求证：（1）时，（2）在R上

3、为减函数。五.综合问题求解抽象函数的综合问题一般难度较大，常涉及到多个知识点，抽象思维程度要求较高，解题时需把握好如下三点：一是注意函数定义域的应用，二是利用函数的奇偶性去掉函数符号“”前的“负号”，三是利用函数单调性去掉函数符号“”。例8设函数定义在R上，当时，，且对任意，有，当时。（1）证明；（2）证明：在R上是增函数；（3）设，若，求满足的条件。4课后巩固练习1.若函数的定义域为,则函数的定义域为()A.B.C.D.2.若A．102B．99C．101D．1003.定义R上的函数满足：（）A．B．2C．4

4、D．64.定义在区间（-1，1）上的减函数满足：。若恒成立，则实数的取值范围是___________________.5.已知函数是定义在（-∞，3]上的减函数，已知对恒成立，求实数的取值范围。6.定义在R上的函数y=f(x)，f(0)≠0，当x>0时，f(x)>1，且对任意的a、b∈R，有f(a+b)=f(a)f(b)，（1）求证：f(0)=1；（2）求证：对任意的x∈R，恒有f(x)>0；（3）证明：f(x)是R上的增函数；（4）若f(x)·f(2x-x2)>1，求x的取值范围。7.已知函数的定义域为R,

5、对任意实数都有,且,当时,>0.(1)求;(2)求和;(3)判断函数的单调性,并证明.4