抽象函数经典习题

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1、-经典习题11.若函数的定义域为,则函数的定义域为()A.B.C.D.2.若A．102B．99C．101D．1003.定义R上的函数满足：（）A．B．2C．4D．64.定义在区间（-1，1）上的减函数满足：。若恒成立，则实数的取值范围是___________________.5.已知函数是定义在(0,+∞)上的增函数,对正实数,都有:成立.则不等式的解集是_____________________.6.已知函数是定义在（-∞，3]上的减函数，已知对恒成立，求实数的取值范围。7.已知是定义在R上的不恒为零的函数,且对于任意的都满足:.(1)求的值;(2)判断的奇偶性,并证明你的结论;--

2、--(3)若,,求数列{}的前项和.1.定义在R上的函数y=f(x)，f(0)≠0，当x>0时，f(x)>1，且对任意的a、b∈R，有f(a+b)=f(a)f(b)，（1）求证：f(0)=1；（2）求证：对任意的x∈R，恒有f(x)>0；（3）证明：f(x)是R上的增函数；（4）若f(x)·f(2x-x2)>1，求x的取值范围。2.已知函数的定义域为R,对任意实数都有,且,当时,>0.(1)求;(2)求和;(3)判断函数的单调性,并证明.3.函数的定义域为R,并满足以下条件:①对任意,有>0;②对任意,有;③.(1)求的值;(2)求证:在R上是单调减函数;(3)若且,求证:.4.已知函

3、数的定义域为R,对任意实数都有,且当时,.(1)证明:;(2)证明:在R上单调递减;----(3)设A=,B={},若=,试确定的取值范围.1.已知函数是定义域为R的奇函数,且它的图象关于直线对称.(1)求的值;(2)证明:函数是周期函数;(3)若求当时,函数的解析式,并画出满足条件的函数至少一个周期的图象.2.函数对于x>0有意义，且满足条件减函数。（1）证明：；（2）若成立，求x的取值范围。3.设函数在上满足，，且在闭区间［0，7］上，只有．（1）试判断函数的奇偶性；（2）试求方程=0在闭区间［-2005，2005］上的根的个数，并证明你的结论----1.B2.A3.A4.,解:由

4、得,,得5.；解：令，则，则………..①∵函数是定义在(0,+∞)上的增函数∴,……………………………………………………②由①②得，不等式的解集为。6.；解：等价于7.（1）解：令，则令，则（2）证明：令，则，∵，∴----令，则∴是奇函数。（3）当时，，令，则故，所以∴∵∴，故∴1.（1）令a=b=0，则f(0)=[f(0)]2∵f(0)≠0∴f(0)=1（2）令a=x，b=-x则f(0)=f(x)f(-x)∴由已知x>0时，f(x)>1>0，当x<0时，-x>0，f(-x)>0∴又x=0时，f(0)=1>0∴对任意x∈R，f(x)>0(3)任取x2>x1，则f(x2)>0，f(x1

5、)>0，x2-x1>0∴∴f(x2)>f(x1)∴f(x)在R上是增函数（4）f(x)·f(2x-x2)=f[x+(2x-x2)]=f(-x2+3x)又1=f(0)，f(x)在R上递增----∴由f(3x-x2)>f(0)得：3x-x2>0∴00,∴令得,(2)任取任取,则令,故∵函数的定义域为R,并满足以下条件:①对任意,有>0;②对任意,有;③∴∴∴函数是R上的单调减函数.(3)由（1）（2）知，，∴----∵∴，而∴∴1

6、.(1)证明:令,则∵当时,,故,∴,∵当时,∴当时,,则(2)证明:任取,则∵,∴0<,故<0,又∵∴,故∴函数是R上的单调减函数.(3)∵由（2）知，是R上的减函数，∴∵B={}=又∵，∴方程组无解，即直线的内部无公共点----∴，故的取值范围是-1.(1)解:∵为R上的奇函数,∴对任意都有,令则∴=0(2)证明:∵为R上的奇函数,∴对任意都有,∵的图象关于直线对称,∴对任意都有,∴用代得,∴,即∴是周期函数,4是其周期.(3)当时，当时，，当时，，∴图象如下：y-----2-10123456x1.(1)证明：令，则，故（2）∵，令，则，∴∴成立的x的取值范围是。2.解:（1）由f

7、(2-x)=f(2+x),f(7-x)=f(7+x)得函数的对称轴为,从而知函数不是奇函数,由,从而知函数的周期为又,故函数是非奇非偶函数;(2)由又故f(x)在[0,10]和[-10,0]上均有有两个解,从而可知函数在[0,2005]上有402个解,在[-2005.0]上有400个解,所以函数----在[-2005,2005]上有802个解.经典习题21.定义在R上的函数y=f(x)，f(0)≠0，当x>0时，f(x)>1，且对任意的a、b∈