2019秋高中数学 第二章 圆锥曲线与方程 2.3.2 双曲线的简单几何性质 第2课时 双曲线方程及性质的应用练习（含解析）新人教A版选修2-1

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1、第2课时双曲线方程及性质的应用A级　基础巩固一、选择题1．已知双曲线－＝1的一条渐近线为y＝x，则实数a的值为(　　)A.　B．2　C.　D．4解析：由题意，得＝，所以a＝4.答案：D2．已知双曲线－＝1(a>0，b>0)的一条渐近线与直线x＋3y＋1＝0垂直，则双曲线的离心率等于(　　)A.B.C.D.答案：C3．已知双曲线－＝1的右焦点为F，若过点F的直线与双曲线的右支有且只有一个交点，则此直线斜率的取值范围是(　　)A.B．(－，)C.D．[－，]解析：由题意知，F(4，0)，双曲线的两条渐近线方程为y＝±x，当过F点的直线与渐近线平行时，满足与双曲线右支只有一个交点，画出图形，

2、通过图形可知应选C.答案：C4．若在双曲线－＝1(a>0，b>0)的右支上到原点O和右焦点F的距离相等的点有两个，则双曲线的离心率的取值范围是(　　)A．e>B．12D．1

3、PF

4、

5、＋

6、PA

7、的最小值是________．解析：因为A点在双曲线的两支之间，设双曲线右焦点为F′(4，0)，于是由双曲线的定义得

8、PF

9、－

10、PF′

11、＝2a＝4.而

12、PA

13、＋

14、PF′

15、≥

16、AF′

17、＝5.两式相加得

18、PF

19、＋

20、PA

21、≥9，当且仅当A，P，F′三点共线时，等号成立．由双曲线的图象可知当点A，P，F′共线时，满足

22、PF′

23、＋

24、PA

25、最小，故所求

26、PF

27、＋

28、PA

29、的最小值为9.答案：97．若直线y＝x－4与双曲线－＝1相交于A，B两点，则

30、AB

31、＝________．解析：将直线方程y＝x－4代入－＝1，整理得2x2－24x＋57＝0，则有x1＋x2＝12，x1·x2＝.由弦长公式得

32、

33、AB

34、＝·＝·＝2.答案：28．已知直线l：x－y＋m＝0与双曲线x2－＝1交于不同的两点A，B，若线段AB的中点在圆x2＋y2＝5上，则m的值是________．-6-解析：由消去y得x2－2mx－m2－2＝0.Δ＝4m2＋4m2＋8＝8m2＋8>0.设A(x1，y1)，B(x2，y2)，则x1＋x2＝2m，y1＋y2＝x1＋x2＋2m＝4m，所以线段AB的中点坐标为(m，2m)，又因为点(m，2m)在圆x2＋y2＝5上，所以5m2＝5，所以m＝±1.答案：±1三、解答题9．已知双曲线－＝1(b>a>0)的渐近线方程为y＝±x，O为坐标原点，点M(－，)在双曲线上．(1)求双曲线的方

35、程；(2)已知P，Q为双曲线上不同两点，点O在以PQ为直径的圆上，求＋的值．解：(1)因为双曲线的渐近线方程为y＝±x，所以设双曲线方程为x2－＝λ(λ≠0)，因为点M(－，)在双曲线上，所以(－)2－＝λ，所以λ＝2.所以双曲线方程为x2－＝2，即－＝1.(2)由题意知OP⊥OQ，设OP直线方程为y＝kx，由解得所以

36、OP

37、2＝x2＋y2＝＋＝.-6-由OQ直线方程为y＝－x，以－代替上式中的k，可得

38、OQ

39、2＝＝.所以＋＝＋＝＝.10．已知双曲线的中心在原点，离心率为2，一个焦点为F(－2，0)．(1)求双曲线方程；(2)设Q是双曲线上一点，且过点F，Q的直线l与y轴交于点M，若

40、

41、

42、＝2

43、

44、，求直线l的方程．解：(1)由题意可设所求的双曲线方程为－＝1(a＞0，b＞0)，则有e＝＝2，c＝2，所以a＝1，则b＝，所以所求的双曲线方程为x2－＝1.(2)因为直线l与y轴相交于M且过焦点F(－2，0)，所以l的斜率一定存在，设为k，则l：y＝k(x＋2)，令x＝0，得M(0，2k)，因为

45、

46、＝2

47、

48、且M，Q，F共线于l，所以＝2或＝－2.当＝2时，xQ＝－，yQ＝k，所以Q的坐标为，因为Q在双曲线x2－＝1上，所以－＝1，所以k＝±，所以直线l的方程为y＝±(x＋2)．-6-当＝－2时，同理求得Q(－4，－2k)，代入双曲线方程得，16－＝1，所以k＝±，所以直线l

49、的方程为y＝±(x＋2)，综上，所求的直线l的方程为y＝±(x＋2)或y＝±(x＋2)．B级　能力提升1．已知椭圆和双曲线有共同焦点F1，F2，P是它们的一个交点，且∠F1PF2＝，记椭圆和双曲线的离心率分别为e1，e2，则的最大值是(　　)A.B.C．2D．3答案：A2．过双曲线－＝1(a>0，b>0)右焦点F作一条直线，当直线的斜率为2时，直线与双曲线左右两支各有一个交点；当直线的斜率为3时，直线与双曲线右支有两个不同的交点，则双曲线的离心