备战2020年高考数学考点一遍过考点13定积分与微积分基本定理理（含解析）

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1、考点13定积分与微积分基本定理（1）了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念.（2）了解微积分基本定理的含义.一、定积分1．曲边梯形的面积（1）曲边梯形：由直线x=a、x=b(a≠b)、y=0和曲线所围成的图形称为曲边梯形(如图①)．（2）求曲边梯形面积的方法与步骤：①分割：把区间[a，b]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形(如图②)；②近似代替：对每个小曲边梯形“以值代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值(如图②)；③求和：把以近似

2、代替得到的每个小曲边梯形面积的近似值求和；④取极限：当小曲边梯形的个数趋向无穷时，各小曲边梯形的面积之和趋向一个定值，即为曲边梯形的面积．2．求变速直线运动的路程如果物体做变速直线运动，速度函数为v=v(t)，那么也可以采用分割、近似代替、求和、取极限的方法，求出它在a≤t≤b内所作的位移s.3．定积分的定义和相关概念（1）如果函数f(x)在区间[a,b]上连续，用分点a=x0

3、,n)，作和式；当n→∞时，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间[a,b]上的定积分，记作，即=.（2）在中，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间[a,b]叫做积分区间，函数叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式．4．定积分的性质（1）(k为常数)；（2）；（3）(其中a

4、上恒为正时，定积分f(x)dx的几何意义是由直线x=a，x=b(a≠b)，y=0和曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积(图①中阴影部分)．（2）一般情况下，定积分f(x)dx的几何意义是介于x轴、曲线f(x)以及直线x=a，x=b之间的曲边梯形面积的代数和(图②中阴影部分所示)，其中在x轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数．6．定积分与曲边梯形的面积的关系(常用结论)定积分的概念是从曲边梯形面积引入的，但是定积分并不一定就是曲边梯形的面积．这要结合具体图形来确定：设阴

5、影部分面积为S,则（1）；（2）；（3）；（4）.7．定积分的物理意义（1）变速直线运动的路程做变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v=v(t)(v(t)≥0)在时间区间[a，b]上的定积分，即.（2）变力做功一物体在恒力F(单位：N)的作用下做直线运动，如果物体沿着与F相同的方向移动了sm，则力F所做的功为W=Fs.如果物体在变力F(x)的作用下沿着与F(x)相同的方向从x=a移动到x=b，则变力F(x)做的功.二、微积分基本定理一般地，如果f(x)是区间[a,b]上的连续函数，且F′(x)=f

6、(x)，那么=F(b)−F(a)．这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式，其中F(x)叫做f(x)的一个原函数．为了方便，我们常把F(b)−F(a)记作，即=F(b)−F(a)．【注】常见的原函数与被积函数的关系（1）为常数)；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）.考向一定积分的计算1．求定积分的三种方法（1）利用定义求定积分(定义法)，可操作性不强；（2）利用微积分基本定理求定积分；（3）利用定积分的几何意义求定积分．当曲边梯形面积易求时，可通过求曲边梯形的面积求定积分．例如

7、，定积分的几何意义是求单位圆面积的，所以.2．用牛顿—莱布尼茨公式求定积分的步骤（1）把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差；（2）把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分；（3）分别用求导公式找到一个相应的原函数；（4）利用牛顿—莱布尼茨公式求出各个定积分的值；（5）计算原始定积分的值.3．分段函数的定积分分段函数求定积分，可先把每一段函数的定积分求出后再相加．4．奇偶函数的定积分（1）若奇函数y=f(x)的图象在[−a，a]上连续，则；（2）若偶函数y=g(x

8、)的图象在[−a，a]上连续，则.典例1A．B．C．D．【答案】A【解析】.故选A．【解题技巧】求定积分的关键是找到被积函数的原函数，为避免出错，在求出原函数后可利用求导与积分互为逆运算的关系进行验证.1．已知，则常数的值为A．B．C．D．考向二利用定积分求平面图形的面积利用定积分求平面图形面积问题的常见类型及解题策略（1）利用定积分求平面图形面积的步骤①根据题意画出图形；②借助图形确定出被积函数，