（全国通用）2018年高考数学 考点一遍过 专题13 定积分与微积分基本定理（含解析）理

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1、考点13定积分与微积分基本定理（1）了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念.（2）了解微积分基本定理的含义.一、定积分1．曲边梯形的面积（1）曲边梯形：由直线x=a、x=b(a≠b)、y=0和曲线所围成的图形称为曲边梯形(如图①)．（2）求曲边梯形面积的方法与步骤：①分割：把区间a，b]分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形(如图②)；②近似代替：对每个小曲边梯形“以值代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值(如图②)；③求和：把以近似代替得到的每个小曲边

2、梯形面积的近似值求和；④取极限：当小曲边梯形的个数趋向无穷时，各小曲边梯形的面积之和趋向一个定值，即为曲边梯形的面积．2．求变速直线运动的路程如果物体做变速直线运动，速度函数为v=v(t)，那么也可以采用分割、近似代替、求和、取极限的方法，求出它在a≤t≤b内所作的位移s.3．定积分的定义和相关概念（1）如果函数f(x)在区间a,b]上连续，用分点a=x0

3、某个常数，这个常数叫做函数f(x)在区间a,b]上的定积分，记作，即=.（2）在中，a与b分别叫做积分下限与积分上限，区间a,b]叫做积分区间，函数叫做被积函数，x叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式．4．定积分的性质（1）(k为常数)；（2）；（3）(其中a

4、b)，y=0和曲线y=f(x)所围成的曲边梯形的面积(图①中阴影部分)．（2）一般情况下，定积分f(x)dx的几何意义是介于x轴、曲线f(x)以及直线x=a，x=b之间的曲边梯形面积的代数和(图②中阴影部分所示)，其中在x轴上方的面积等于该区间上的积分值，在x轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数．6．定积分与曲边梯形的面积的关系(常用结论)定积分的概念是从曲边梯形面积引入的，但是定积分并不一定就是曲边梯形的面积．这要结合具体图形来确定：设阴影部分面积为S,则（1）；（2）；（3）；（4）.7．定积分的物理意义（1）变速直线运

5、动的路程做变速直线运动的物体所经过的路程s，等于其速度函数v=v(t)(v(t)≥0)在时间区间a，b]上的定积分，即.（2）变力做功一物体在恒力F(单位：N)的作用下做直线运动，如果物体沿着与F相同的方向移动了sm，则力F所做的功为W=Fs.如果物体在变力F(x)的作用下沿着与F(x)相同的方向从x=a移动到x=b，则变力F(x)做的功.二、微积分基本定理一般地，如果f(x)是区间a,b]上的连续函数，且F′(x)=f(x)，那么=F(b)−F(a)．这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿—莱布尼茨公式，其中F(x)叫做f(

6、x)的一个原函数．为了方便，我们常把F(b)−F(a)记作，即=F(b)−F(a)．学.【注】常见的原函数与被积函数的关系（1）为常数)；（2）；（3）；（4）；（5）；（6）；（7）；（8）.考向一定积分的计算1．求定积分的三种方法（1）利用定义求定积分(定义法)，可操作性不强；（2）利用微积分基本定理求定积分；（3）利用定积分的几何意义求定积分．当曲边梯形面积易求时，可通过求曲边梯形的面积求定积分．例如，定积分的几何意义是求单位圆面积的，所以.2．用牛顿—莱布尼茨公式求定积分的步骤（1）把被积函数变形为幂函数、正弦函数、余

7、弦函数、指数函数与常数的积的和或差；（2）把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分；（3）分别用求导公式找到一个相应的原函数；（4）利用牛顿—莱布尼茨公式求出各个定积分的值；（5）计算原始定积分的值.3．分段函数的定积分分段函数求定积分，可先把每一段函数的定积分求出后再相加．4．奇偶函数的定积分（1）若奇函数y=f(x)的图象在−a，a]上连续，则；（2）若偶函数y=g(x)的图象在−a，a]上连续，则.典例1定积分的值为A．B．C．D．【答案】C【解题技巧】求定积分的关键是找到被积函数的原函数，为避免出错，在求

8、出原函数后可利用求导与积分互为逆运算的关系进行验证.1．若S1=x2dx，S2=，S3=，则S1，S2，S3的大小关系为A．S1