（全国通用）2018年高考数学考点一遍过专题13定积分与微积分基本定理（含解析）理

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1、考点13定积分与微积分基本定理:考徊原女(1)了解定积分的实际背景，了解定积分的基本思想，了解定积分的概念.(2)了解微积分基本定理的含义.第知识整今一、定积分1.曲边梯形的面积(1)曲边梯形：由直线尸耳、尸(日hz?)、尸o和曲线y=f(x)所围成的图形称为曲边梯形(如图①).(2)求曲边梯形面积的方法与步骤：①分割：把区间日，切分成许多小区间，进而把曲边梯形拆分为一些小曲边梯形(如图②)；②近似代替：对每个小曲边梯形“以值代曲”，即用矩形的面积近似代替小曲边梯形的面积，得到每个小曲边梯形面积的近似值(如图②)；③求

2、和：把以近似代替得到的每个小曲边梯形血积的近似值求和；④取极限：当小曲边梯形的个数趋向无穷时，各小曲边梯形的面积Z和趋向一个定值，即为曲边梯形的面积.OabX图①2.求变速直线运动的路程如果物体做变速直线运动，速度两数为v=v(t),那么也可以采用分割、近似代替、求和、取极限的方法，求岀它在aWtWb内所作的位移s.1.定积分的定义和相关概念(1)如果函数f3在区间自，方］上连续，用分点将区间b等分成77个小区间，在每个小区间丸…屈上任取一点门(匸1,2,•・・,/?),作和式工/(§•)山=工匕上/($)；当厂8时

3、，上述和式无限接近某个常数，这个常数叫做/=1/=1“函数曲在区间讥］上的定积分，记作即「/(x)cLr=limy^M).JaJa/?—n(2)在£/(x)dx中，日与力分别叫做积分下限与积分上限，区间日，刃叫做积分区间，函数/(X)叫做被积函数，X叫做积分变量，f(x)dx叫做被积式.2.定积分的性质(1)『妙(x)ck二(%)dr(斤为常数)；fbfh『b(2)£［/(%)±g(x)］dx=£/(x)dr±Jg(x)dx；(3)j/(x)dx=jf(x)dx+jf(x)dx(其中a

4、)称为定积分对积分区间的可加性，其儿何意义是曲边梯形ABCD的面积等于曲边梯形/旳与曲边梯形如'的面积的和.3.定积分的几何意义A(1)当函数f(方在区间2方］上恒为正时，f(劝ckr的儿何意义是由直线尸0尸力(臼HZ?),尸0和曲线尸f3所I韦1成的曲边梯形的而积(图①屮阴影部分)•(2)i般情况下，定积分Jf(%)dx的几何意义是介于x轴、曲线f(%)以及直线尸日，尸Q之问的曲边梯形血积的代数和(图②中阴彫部分所示)，其中在x轴上方的面积等于该区间上的积分值，在;v轴下方的面积等于该区间上积分值的相反数.图①1.定

5、积分与曲边梯形的面积的关系(常用结论)定积分的概念是从曲边梯形面积引入的,但是定积分并不一定就是曲边梯形的面积.这要结合具体图形来确定:(2)S=-J/(x)d.¥；设阴影部分面积为S,则(1)S=J/(x)dx；(3)S=Jf(x)(Lv-j/(x)dx；2.定积分的物理意义(1)变速直线运动的路程做变速直线运动的物体所经过的路程s,等于其速度函数尸y(Z)W(Z)20)在时间区间自,rb勿上的定积分，即5=£v(r)dr.(2)变力做功一物体在恒力尸(单位：N)的作用下做直线运动，如果物体沿着与尸相同的方向移动了s

6、m,则力尸所做的功为阻Fs.如果物体在变力F3的作用下沿着与厂(/)相同的方向从尸日移动到尸力，则变力尸匕)做的功w=fF(x)cL「二、微积分基本定理一般地，如果f3是区间日"]上的连续函数，且F3二f3,那么rbIf(x)dx=Kb)M.这个结论叫做微积分基本定理，又叫做牛顿一莱布尼茨公式，其Ja中尸匕)叫做f3的一个原函数.为了方便，我们常把记作F(x)

7、：,即【注】常见的原函数与被积甫数的关系(1)[bCdx=Cx^(C为常数)；Ja(2)「£血二丄疋鋼：(/?工一1)；J“〃+1八(3)sinxdx=-co

8、sx

9、：；Jarb,(4)cosxAx=sinx；Jarb1,(5)I—dx=x^t(b>a>0)；Jax(6)£eAdx=er

10、^；(7)=ab7」(8)fy/xdx=—x2(b>a>0).Ja3考向一定积分的计算1.求定积分的三种方法(1)利用定义求定积分(定义法)，可操作性不强;(2)利用微积分基本定理求定积分；(3)利用定积分的儿何意义求定积分.当曲边梯形面积易求时，可通过求曲边梯形的面积求定积分.例如，定积分的几何意义是求单位圆面积的?所以f'Vl-x2dx=-.Jo41.用牛顿一莱布尼茨公式求定积

11、分的步骤(1)把被积函数变形为幕函数、正弦函数、余弦函数、指数函数与常数的积的和或差；(2)把定积分用定积分性质变形为求被积函数为上述函数的定积分；(3)分别用求导公式找到一个相应的原函数；(4)利用牛顿一莱布尼茨公式求出各个定积分的值；(5)计算原始定积分的值.2.分段函数的定积分分段函数求定积分，可先把侮一段函数的定积分求出后