浅谈值域问题的求法

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1、浅谈值域问题的求法函数是高中数学的重要内容，而求函数的值域问题是高中函数的重要问题，也是高一上期学生感觉困难的问题。求值域虽然比较难，但也有章可循，下面对函数值域中经常用到的方法加以归纳。一、观察法：例1,求下列函数的值域：(1)yW+1；(2)y二寸2*16。解(1)•••&20•••&+121：.y=^[x+1的值域是[1,+8)(2)V2x>0.*.2X+16>16,曲+16>4,即y>4・・・y-V務正的值域是(4,+8)注：观察法就是将函数分解成几个常见的函数，然后利用这些熟知函数的值域来求原函数值域的方法。二、分离常数法：例2,求下列函数的值域：HO

2、,・・・yH2Vx2+l^l,•••OVrvWlx「+l・•・值域是{y

3、ywR且yH2}22•••X-丙V0,-1W1-芮VI即TWyVl,r.值域为［T,1)注：关于x的一次分式函数，可采用分离常数法求值域。三、利用有界性：例3,求下列函数的值域：(a>0,aHl)/、x2-lax~l（1）y_2,-1;（2）y_x.x+1a+1⑴由y奇得:寺Vx2^0••岁$01-y解得：TWyVlax-1（2）解法一：由y=^•得:a+1Vax+l>l12A00・•・十>01-y1-y解得

4、：TVyVl二值域为(T,1)E—&+1)-22解法_：ya+1

5、形如F(x)二a[f(x)]2+b[f(x)]+c的函数值域问题，均可考虑用配方法。注意自变量的取值不是全体实数时，要结合图象来求解。五、换元法:例5,求下列函数的值域:(1)y二x£l-2x；解(1)函数的定义域是{x

6、xW=}g—2x二t(t±0),贝【Jx斗(1-t2)Ay4(l-t2)+t=-7(t-l)2+l•・・t20结合图像可知yWl,故函数的值域为(-8,1](2)函数的值域为{x

7、xWl}令小二二t(t20),则x-1-t2y=(l-t2)-l-t=-t2-t=-(t+~)2+~Vt^O结合图像可知yWO,故函数的值域为,0]注：一般地，形如y

8、二ax±b±Jcx+d(a,b,c,d均为常数，且aHO)的函数可用换元法求值域，用此种方法要特别注意换元后中间变量的取值范围。六、判别式法：例6,求下列函数的值域：/、2x'+2x+32x⑴y—zi；⑵fl解（1）函数的定义域为xWR由y=2x'+2x+3x’+x+l得:(x'+x+l)y二2x'+2x+3,即(y-2)x'+(y-2)x+y-3二0若y-2=0,即y=2时，得:T二0,不成立。・・・yH2VxeRA=(y~2)2-4(y-2)(y-3)20解得：2WyW~^・••函数的值域为（2,10T（2）函数的定义域为xWRyx"-2x+y二0当y=0,

9、得:x=0,成立。当yHO时，VxeR,IjjljA二4一4灼0解得：-lWyWl.•.TWyWl,且yHO故函数的值域为[-1,1]注：一般地，形如y二dix'+bix+cia2x2+b2x+c2（“a?不同时为0）的函数常用判别式法求值域。七、图象法例7,求函数y=

10、x+l+x-2

11、的值域—-2x+l,xW-l解：f（x）二y3,TVxW2j2x~l,x>2它的图象如图所示，显然，函数值y$3,・•・函数的值域为[3,+°°]注：一般地，含有绝对值符号的函数或分段函数求值域的问题常用图象法。