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1、2.函数值域的求法函数的值域(1)函数值域的定义在函数y=f(x)中,与自变量x的值对应的y的值叫做函数值,函数值的集合叫做函数的值域.(2)确定函数值域的原则①当函数y=f(x)用表格给出时,函数的值域是指表格中y的值的集合.②当函数y=f(x)的图象给出时,函数的值域是指图象在y轴上的投影对应的y的值的集合.③当函数y=f(x)用解析式给出时,函数的值域由函数的定义域及其对应法则惟一确定.④当函数由实际问题给出时,函数的值域应结合问题的实际意义确定.1、基本初等函数的值域:(1)一次函数y=
2、kx+b(k≠0)的值域:R(2)反比例函数的值域:{y
3、y∈R,y≠0}(3)二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)的值域:a>0时,a<0时,知识归纳二次函数y=ax2+bx+c(a≠0)在给定区间[m,n]上的值域:由图象取:[min{f(m),f(n),f()},max{f(m),f(n),f()}](4)指数函数y=ax(a>0,a≠1)的值域:(0,+∞)(5)对数函数y=logax(a>0,a≠1)的值域:R(6)幂函数y=xα(α∈R)的值域:α>0时,值域为[0,+∞)或R,α
4、=0时,值域为{y
5、y∈R,y≠0},α<0时,值域为(0,+∞)或{y
6、y∈R,y≠0}(7)三角函数y=sinx,y=cosx,y=tanx的值域分别为:[-1,1],[-1,1],R2、求函数值域的方法:基本原则:分解、变形、转化(1)直接法:初等函数或初等函数的复合函数,从自变量x的范围出发,推出y=f(x)的取值范围;(2)二次函数法:形如F(x)=af2(x)+bf(x)+c的函数利用换元法将函数转化为二次函数求值域;(3)换元法:代数换元,三角换元,均值换元等。(4)反表示法:将求
7、函数的值域转化为求它的反函数的值域;(5)判别式法:运用方程思想,依据二次方程有根,求出y的取值范围;(6)单调性法:利用函数在定义域上的单调性求值域;(7)基本不等式法:利用各基本不等式求值域;(8)图象法:当一个函数图象可作时,通过图象可求其值域;(9)求导法:当一个函数在定义域上可导时,可据其导数求最值,再得值域;(10)数形结合法:由几何意义,转化斜率、距离等求值域。3.运用不同方法求函数的值域[例]求函数y=的值域.分析:本题中函数的定义域为R,且分子、分母中至少有一个为关于x的二次式
8、,所以可用判别式法;但注意到分子为x的一次式,可在x≠0时,分子、分母同除以x,用均值定理去求解;导数法更具有一般性.91011[例1]求下列函数的值域:(1)(2)(3)变式典型例题类型一.初等函数的复合函数:(5)已知f(x)=log3xx∈[1,9],求函数f(x2)+f2(x)的值域。[例2]求下列函数的值域:(1)(2)(3)(4)类型二.其它函数:(5)(6)(7)求y=
9、x+1
10、+
11、x-2
12、的值域.(8)[例3]已知函数的定义域为R,值域为[0,2],求m,n的值。类型三.给定函数
13、值域,求参数的取值范围作业:1.求下列函数的最值与值域(3)y=(1)y=2x-2.若函数的最大值为4,最小值为-1,求实数a,b的值(2)y=x+