图形的相似与位似

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1、第33课时图形的相似与位似一、【教学目标】1．了解比例的基本性质，线段的比，成比例线段，黄金分割；2．了解图形的相似；3．理解相似图形的性质；4．理解两个三角形相似的性质及判定，直角三角形相似的判定；5．了解位似及应用；6．掌握相似的应用．二、【重点难点】重点：相似图形的性质与判定，相似的应用．难点：相似的应用．三、【主要考点】（一）、比例线段1.在四条线段中，如果其中两条线段的比等于另外两条线段的比，那么这四条线段叫作成比例线段.2.比例的基本性质：若，那么ad=bc.3.平行线分线段成比例定理：三条平行线截两条直线，所得的对应线段成比例.4.黄金分割：点C在线段AB上，若AC2

2、=AB·BC，点C为AB的黄金分割点.此时，.（二）、相似三角形1.性质：（1）相似三角形的对应角相等，对应边成比例.（2）相似三角形对应高的比、对应中线的比、对应角平分线的比都等于相似比.（3）相似三角形的周长比等于相似比，面积比等于相似比的平方.2.判定：（1）平行于三角形一边的直线与其它两边（或延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似；（2）两角对应相等的两个三角形相似；（3）两边对应成比例且夹角相等的两个三角形相似；（4）三边对应成比例的两个三角形相似.(注意：相似三角形具有传递性，即甲∽乙，乙∽丙，则甲∽丙)（三）、位似1.定义：对应点的连线相交于一点的两个相似多边形叫

3、位似图形，这点叫作位似中心，这时相似比又称为位似比.2.性质：（1）位似图形上任意一对对应点到位似中心的距离比等于位似比；（2）在平面直角坐标系中，如果位似变换是以原点为位似中心，相似比为k，那么位似图形对应点的坐标的比等于k或-k.8四、【经典题型】【33-1A】如图1，在□ABCD中，F是BC上的一点，直线DF与AB的延长线相交于点E，BP∥DF，且与AD相交于点P，请从图中找出一组相似的三角形：．图1解：∵BP∥DE，∴△ABP∽△AED；∵BE∥CD，∴△BEF∽△CDF；∵BF∥AD，∴△BEF∽△AED利用相似三角形的传递性，还可以得到△CDF∽△AED，△CDF∽△A

4、BP等.答案不唯一.温馨提示：遇平行线，通常用“平行于三角形的一边的直线与其他两边（或延长线）相交，所构成的三角形与原三角形相似”进行判断.需注意的是本题为开放型题目，答案不唯一，要注意认真审题明确要求从图中找出一组相似的三角形即可．【33-2A】⑴已知△ABC与△DEF相似且面积比为4∶25，则△ABC与△DEF的相似比为.⑵如图2，在矩形ABCD中，点E、F分别在边AD、DC上，△ABE∽△DEF，AB=6，AE=9，DE=2，求EF的长.图2解：⑴根据“相似三角形的面积比等于相似比的平方”易求△ABC与△DEF的相似比为∶，即2∶5.⑵∵△ABE∽△DEF，∴，，∴DF=3.

5、在Rt△DEF中，EF===.温馨提示：相似三角形“对应边成比例”这一性质反映出图形中线段的数量关系，常作为得到图形中两个量之间的函数关系的重要根据，所以相似三角形在几何与代数相结合类综合题中出现较多．图3FE【33-3B】亮亮和颖颖住在同一幢住宅楼，两人准备用测量影子的方法测算其楼高，但恰逢阴天，于是两人商定改用下面方法：如图3，亮亮蹲在地上，颖颖站在亮亮和楼之间，两人适当调整自己的位置，当楼的顶部M，颖颖的头顶B及亮亮的眼睛A恰在一条直线上时，两人分别标定自己的位置C、D.然后测出两人之间的距离CD=1.25m，颖颖与楼之间的距离DN=30m(C、D、N在一条直线上)，颖颖的身

6、高BD=1.6m，亮亮蹲地观测时眼睛到地面的距离AC=0.8m．你能根据以上测量数据帮助他们求出住宅楼的高度吗？解：如图5，过A作CN的平行线交BD于E，交MN于F.由已知可得FN=ED=AC=0.8m，AE=CD=1.25m，EF=DN=30m.∵∠AEB=∠AFM=90°.又∠BAE=∠MAF，∴△ABE∽△AMF.∴.即.8解得MF=20(m).∴MN=MF+FN=20+0.8=20.8(m).答：住宅楼高为20.8m．温馨提示：利用相似三角形的性质，可以求解某些距离和物体长度的问题.在解决问题时一定要找准对应关系．【33-4A】在如图4所示的13×13的网格图中，已知△AB

7、C和点M（1，2）．（1）以点M为位似中心，位似比为2，画出△ABC的位似图形△A′B′C′；（2）写出△A′B′C′的各顶点坐标．图4图5解：（1）如图5所示：△A′B′C′即为所求.（2）△A′B′C′的各顶点坐标分别为：A′（3，6），B′（5，2），C′（11，4）．温馨提示：如果不受图形的局限，本题答案有两种情形，也可反向作△ABC的位似图形．五、【点击教材】【33-5B】（九上P93/2）如图6，小红同学用自制的直角三角形纸板DEF测量树的高度AB，她调整