勾股定理培优题

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1、勾股定理一、知识要点1、勾股定理勾股定理在西方又被称为毕达哥拉斯定理，它有着悠久的历史，蕴含着丰富的文化价值，勾股定理是数学史上的一个伟大的定理，在现实生活中有着广泛的应用，被人誉为“千古第一定理”.勾股定理反映了直角三角形（三边分别为a、b、c，其中c为斜边）的三边关系，即a2+b2=c2，它的变形式为c2-a2=b2或c2-b2=a2.勾股定理是平面几何中最重要的几何定理之一，在几何图形的计算和论证方面，有着重要的应用，它沟通了形与数，将几何论证转化为代数计算，是一种重要的数学方法.2、勾股定理的逆定理如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2，则这个三角形是以c为斜边

2、的直角三角形.勾股定理的逆定理给出了判定一个三角形是直角三角形的方法，这种方法与前面学过的一些判定方法不同，它是通过代数运算“算”出来的，实际上利用计算证明几何问题在几何里也是很重要的，这是里体现了数学中的重要思想——数形结合思想，突破了利用角与角之间的转化计算直角的方法，建立了通过求边与边的关系来判断直角的新方法，它将数形之间的联系体现得淋漓尽致.因此也有人称勾股定理的逆定理为“数形结合的第一定理”.二、基本知识过关测试1.如果直角三角形的两边为3，4，则第三边a的值是.2.如图，图形A是以直角三角形直角边a为直径的半圆，阴影SA=.3.如图，有一个圆柱的高等于12cm，底面半

3、径3cm，一只蚂蚁要从下底面上B点处爬至上底与B点相对的A点处，所需爬行的最短路程是.4.如图.在△ABC中，CD⊥AB于D，AB=5，CD=，∠BCD=30°，则AC=.5.作长为，，的线段.6.在下列各组数中　①5，12，13；②7，24，25；③32，42，52；④3a，4a，5a；⑤a2+1，a2-1，2a(a＞1)；⑥m2-n2，2mn，m2+n2(m＞n＞0)可作直角三角形三边长的有组.7.如图，四边形ABCD中，AB=1，BC=2，CD=2，AD=3，AB⊥BC，则四边形ABCD的面积是.最新范本,供参考！第2题图第3题图第4题图第7题图8.如图，在正方形ABCD中

4、，F为DC中点，E为BC上一点，且EC=BC，试判断△AEF的形状.三、综合.提高.创新【例1】（1）在三角形纸片ABC中，∠C=90°，∠A=30°，AC=3，折叠该纸片，使点A与点B重合，折痕与AB、AC分别相交于点D和点E（如图），折痕DE的长是多少？（2）如图，在矩形ABCD中，AB=8，AD=10，按如图所示折叠，使点D落在BC上的点E处，求折痕AF的长.最新范本,供参考！（3）如图，正三角形ABC的边长为2，M是AB边上的中点，P是BC边上任意一点，PA+PM的最大值和最小值分别记作S和T，求S2-T2的值.【练】如图，四边形ABCD是长方形，把△ACD沿AC折叠到△

5、ACD′，AD′与BC交于E，若AD=4，DC=3，求BE.【例2】（1）如图，△ABC中，∠C=60°，AB=70，AC=30，求BC的长.最新范本,供参考！（2）如图，在四边形ABCD中，AB=2，CD=1，∠A=60°，∠B=∠D=90°，求四边形ABCD的面积.【练】如图，△ABC中，A=150°，AB=2，BC=，求AC的长.【例3】（1）如图，△ABC中，AB=AC=20，BC=32，D为BC上一点，AD⊥AB，求CD.（2）如图，在Rt△ABC中，∠C=90°，D、E分别是BC、AC中点，AD=5，BE=，求AB.最新范本,供参考！【例4】如图，△ABC中，∠ACB

6、=90°，CD⊥AB于D，设AC=b，BC=a，AB=c，CD=h，求证：（1）；（2）a+b＜c+h；（3）以a+b，h和c+h为边的三角形是直角三角形.【例5】（1）如图，ABCD为矩形，P为矩形ABCD所在平面上一点，求证：PA2-PB2=PD2-PC2.最新范本,供参考！（2）锐角△ABC中，AD⊥BC于D，若∠B=2∠C，求证：AC2=AB2+AB·BC.变式：如图，AM是△ABC的BC边上的中线，求证：AB2+AC2=2(AM2+BM2).（3）如图，△ABC中，AB=AC，P为线段BC上一动点，试猜想AB2，AP2，PB，PC有何关系，并加以证明.变式：若点P在BC

7、的延长线上，如图，（3）中结论是否仍然成立？并证明.最新范本,供参考！（4）在等腰Rt△ABC的斜边AB所在的直线上取点P并设s=AP2+BP2，试探求P点位置变化时，s与2CP2的大小关系，并证明.变式：若点P在BA的延长线上，如图中，（4）中结论是否仍然成立？并证明.【例6】（1）如图，△ABC中，D为BC边上的中点，以D为顶点作∠EDF=90°，DE、DF分别交AB、AC于E、F，且BE2+FC2=EF2，求证：∠BAC=90°.最新范本,供参考！（2）在Rt△ABC中，∠