【7A文】勾股定理培优题.docx

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1、【MeiWei_81重点借鉴文档】勾股定理一、知识要点1、勾股定理勾股定理在西方又被称为毕达哥拉斯定理,它有着悠久的历史,蕴含着丰富的文化价值,勾股定理是数学史上的一个伟大的定理,在现实生活中有着广泛的应用,被人誉为“千古第一定理”.勾股定理反映了直角三角形(三边分别为a、b、c,其中c为斜边)的三边关系,即a2+b2=c2,它的变形式为c2-a2=b2或c2-b2=a2.勾股定理是平面几何中最重要的几何定理之一,在几何图形的计算和论证方面,有着重要的应用,它沟通了形与数,将几何论证转化为代数计算,是一种重要的数学方法.2、勾股定理的

2、逆定理如果三角形的三边长a、b、c满足a2+b2=c2,则这个三角形是以c为斜边的直角三角形.勾股定理的逆定理给出了判定一个三角形是直角三角形的方法,这种方法与前面学过的一些判定方法不同,它是通过代数运算“算”出来的,实际上利用计算证明几何问题在几何里也是很重要的,这是里体现了数学中的重要思想——数形结合思想,突破了利用角与角之间的转化计算直角的方法,建立了通过求边与边的关系来判断直角的新方法,它将数形之间的联系体现得淋漓尽致.因此也有人称勾股定理的逆定理为“数形结合的第一定理”.二、基本知识过关测试1.如果直角三角形的两边为3,4,

3、则第三边a的值是.2.如图,图形A是以直角三角形直角边a为直径的半圆,阴影SA=.3.如图,有一个圆柱的高等于12cm,底面半径3cm,一只蚂蚁要从下底面上B点处爬至上底与B点相对的A点处,所需爬行的最短路程是.4.如图.在△ABC中,CD⊥AB于D,AB=5,CD=,∠BCD=30°,则AC=.5.作长为,,的线段.6.在下列各组数中 ①5,12,13;②7,24,25;③32,42,52;④3a,4a,5a;⑤a2+1,a2-1,2a(a>1);⑥m2-n2,2mn,m2+n2(m>n>0)可作直角三角形三边长的有组.7.如图,四

4、边形ABCD中,AB=1,BC=2,CD=2,AD=3,AB⊥BC,则四边形ABCD的面积是.第2题图第3题图第4题图第7题图8.如图,在正方形ABCD中,F为DC中点,E为BC上一点,且EC=BC,试判断△AEF的形状.三、综合.提高.创新【例1】(1)在三角形纸片ABC中,∠C=90°,∠A=30°,AC=3,折叠该纸片,使点A与点B重合,折痕与AB、AC分别相交于点D和点E(如图),折痕DE的长是多少?【MeiWei_81重点借鉴文档】【MeiWei_81重点借鉴文档】(2)如图,在矩形ABCD中,AB=8,AD=10,按如图所

5、示折叠,使点D落在BC上的点E处,求折痕AF的长.(3)如图,正三角形ABC的边长为2,M是AB边上的中点,P是BC边上任意一点,PA+PM的最大值和最小值分别记作S和T,求S2-T2的值.【练】如图,四边形ABCD是长方形,把△ACD沿AC折叠到△ACD′,AD′与BC交于E,若AD=4,DC=3,求BE.【例2】(1)如图,△ABC中,∠C=60°,AB=70,AC=30,求BC的长.(2)如图,在四边形ABCD中,AB=2,CD=1,∠A=60°,∠B=∠D=90°,求四边形ABCD的面积.【MeiWei_81重点借鉴文档】【M

6、eiWei_81重点借鉴文档】【练】如图,△ABC中,A=150°,AB=2,BC=,求AC的长.【例3】(1)如图,△ABC中,AB=AC=20,BC=32,D为BC上一点,AD⊥AB,求CD.(2)如图,在Rt△ABC中,∠C=90°,D、E分别是BC、AC中点,AD=5,BE=,求AB.【例4】如图,△ABC中,∠ACB=90°,CD⊥AB于D,设AC=b,BC=a,AB=c,CD=h,求证:(1);(2)a+b<c+h;(3)以a+b,h和c+h为边的三角形是直角三角形.【例5】(1)如图,ABCD为矩形,P为矩形ABCD所在

7、平面上一点,求证:PA2-PB2=PD2-PC2.【MeiWei_81重点借鉴文档】【MeiWei_81重点借鉴文档】(2)锐角△ABC中,AD⊥BC于D,若∠B=2∠C,求证:AC2=AB2+AB·BC.变式:如图,AM是△ABC的BC边上的中线,求证:AB2+AC2=2(AM2+BM2).(3)如图,△ABC中,AB=AC,P为线段BC上一动点,试猜想AB2,AP2,PB,PC有何关系,并加以证明.变式:若点P在BC的延长线上,如图,(3)中结论是否仍然成立?并证明.(4)在等腰Rt△ABC的斜边AB所在的直线上取点P并设s=AP

8、2+BP2,试探求P点位置变化时,s与2CP2的大小关系,并证明.【MeiWei_81重点借鉴文档】【MeiWei_81重点借鉴文档】变式:若点P在BA的延长线上,如图中,(4)中结论是否仍然成立?并证明.【例6】(1)

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