2、1)f(x2)),则称f(x)在区间V上的增函数(减函数)，区间V称为f(x)的一个单调增(减)区间.III.函数的周期性对于函数f(x),如果存在一个不为零的正数T,使得当x取定义域屮的侮个数时，f(x+T)=f(x)总成立,那么称f(x)是周期函数,T称做这个周期函数的周期.如果函数f(x)的所有周期中存在最小值To,称T°为周期函数f(x)的最小值正周期.IV.高斯函数对任意实数x,我们记不超过x的最大整数为[x],通常称函数y二[x]为取整函数，又称高斯函数.进一步，记｛x｝=x—[x],则函数y二｛x｝称为小数部分函数，它表示的是x的小数部分.根据
3、高斯函数的定义，可得到其如下性质.性质1对任意xWR,均有X—l<[x]Wx〈[x]+1.性质2对任意xeR,函数y二｛x｝的值域为[0,1).性质3高斯函数是一个不减函数，即对任意X1,X2^R,若X1WX2,则[xjW[x2〕.性质3若nWZ,XWR,则有[x+n]=n+[x],｛n+x｝=｛x｝后一个式子表明y二｛x｝是一个以1为周期的函数.性质4若x,yGR,贝Ij[x]+[y]W[x+y]W[x]+[y]+l.性质5若nGN*,xER,则[nx]Mn[x]XIr
4、性质6若nEN*,xER,贝lj
5、-]=
6、—].nnx性质7若MN*,xER；则在区间[l,x]内，恰有[一]个
7、整数是n的倍数.n性质8设p为质数，nWN*,在p在n!的质因数分解式中的幕次为”(农!)=[―]+[—]+...PP赛题精讲函数是高中数学，也是高等数学的基础•因此，也是高考和高中数学竞赛的重要内容.下面分类介绍此类题目.1函数的定义域和值域例1当X为何值时,才有意义.【思路分析】应根据对数的意义，从最外层开始一层一层地逐步消去根号和对数符号求出X的范围.【评述】这种多层对数及根式问题，一定要逐层由外向内求解，要有耐心。例2设A二{a
8、沪7p,pWN*},在A上定义函数f如下：若心,则f(Q表示a的数字之和,例如f(7)=7,f(42)=6，设函数f的值域是集合M・求证:M={n
9、
10、neN*,心2}・【思路分析】注意从充要条件的角度来进行证明.【略解】先证Mc{n
11、nGN*,n^2}.任取xWM,即x是被7整除的正整数的数字之和，由于7X10“，沪0,1,2,…，所以x的数字之和是大于1的正整数，因此xE{n
12、ne*,n22}.所以Me{n
13、nGN*,n>2}.再证{n
14、nWN*,n>2}CM.任取xw{n
15、nGN*,nM2},即x是大于1的正整数.下面分两种情形:当x=2k(kGN*)吋，由于7
16、100
17、,于是取a=10011001—1001,"1001则7
18、a,且f(a)=2k,所以xEM.当x=2k+l(keN*)时，由于7
19、100
20、,7
21、21,于是取b
22、=10011001-100121,k-1个1001则7
23、b,且f(b)=2(k-l)+3=2k+l,故x^M,故x^M.所以{n
24、nEN*,n^2}CM.因此M={nr)WN*,n>2}.【评述】此类题目的证明严谨、科学.例3设正实数x,y满足xy二1,求函数f(x,y)二乂。的值域.(其屮(［x］表示不超过x的最大整数)［兀］［刃+W+［刃+1【思路分析】由x、y的对称性，不妨设x2y,则有x2>l,必分x二1与x>l两种情况讨【详解】不妨设xNy,则x2^l,x>l.有下面两种情形:(1)当x=l时,y=l,此时f(x,y)二一.2(2)当x>l时,设[x]=n,{x}=x—[x
25、]=a,则x二n+a,OWa〈l.于是，y二一-—<1,故[y]=0.n+a/(兀,刃=由函数g(x)=x+-在x$l时是递增的和OWa<1得兀/7+—a2=a3.a3b2>...>bn>....于是当x>1时,f(x,y)
