高中数学 第1章 集合与函数 1.2 函数的概念和性质教案 湘教版必修1

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1、1.2函数的概念和性质知识、方法、技能I．函数的定义设A，B都是非空的数集，f是从A到B的一个对应法则.那么，从A到B的映射f：A→B就叫做从A到B的函数.记做y=f(x)，其中x∈A，y∈B，原象集合，A叫做函数f(x)的定义域，象的集合C叫做函数的值域，显然CB.II．函数的性质（1）奇偶性设函数f(x)的定义域为D，且D是关于原点对称的数集.若对任意的x∈D，都有f(－x)=－f(x)，则称f(x)是奇函数；若对任意的x∈D，都有f(－x)=f(x),则称f(x)是偶函数.（2）函数的增减性设函数f(x)在区间

2、D′上满足：对任意x1,x2∈D′，并且x1f(x2)),则称f(x)在区间D′上的增函数（减函数），区间D′称为f(x)的一个单调增（减）区间.III．函数的周期性对于函数f(x),如果存在一个不为零的正数T，使得当x取定义域中的每个数时，f(x+T)=f(x)总成立，那么称f(x)是周期函数，T称做这个周期函数的周期.如果函数f(x)的所有周期中存在最小值T0，称T0为周期函数f(x)的最小值正周期.IV．高斯函数对任意实数x,我们记不超过x的最大整数为[x]，

3、通常称函数y=[x]为取整函数，又称高斯函数.进一步，记{x}=x－[x]，则函数y={x}称为小数部分函数，它表示的是x的小数部分.根据高斯函数的定义，可得到其如下性质.性质1对任意x∈R，均有x－1<[x]≤x<[x]+1.性质2对任意x∈R，函数y={x}的值域为.性质3高斯函数是一个不减函数，即对任意x1,x2∈R，若x1≤x2,则[x1]≤[x2].性质3若n∈Z,x∈R,则有[x+n]=n+[x],{n+x}={x}后一个式子表明y={x}是一个以1为周期的函数.性质4若x,y∈R，则[x]+[y]≤[x

4、+y]≤[x]+[y]+1.性质5若n∈N*,x∈R,则[nx]≥n[x]性质6若n∈N*,x∈R,则.性质7若n∈N*,x∈R+,则在区间[1,x]内，恰有个整数是n的倍数.性质8设p为质数，n∈N*,在p在n!的质因数分解式中的幂次为赛题精讲函数是高中数学，也是高等数学的基础.因此，也是高考和高中数学竞赛的重要内容.下面分类介绍此类题目.I函数的定义域和值域例1当x为何值时，才有意义.【思路分析】应根据对数的意义，从最外层开始一层一层地逐步消去根号和对数符号求出x的范围.【略解】由>0，得≥1……∴【评述】这种多

5、层对数及根式问题，一定要逐层由外向内求解，要有耐心。例2设A={a

6、a=7p,p∈N*},在A上定义函数f如下：若a∈A，则f(a)表示a的数字之和，例如f(7)=7，f(42)=6，设函数f的值域是集合M.求证：M={n

7、n∈N*,n≥2}.【思路分析】注意从充要条件的角度来进行证明.【略解】先证M{n

8、n∈N*,n≥2}.任取x∈M,即x是被7整除的正整数的数字之和，由于7×10n，n=0,1,2，…，所以x的数字之和是大于1的正整数，因此x∈{n

9、n∈N*，n≥2}.所以M{n

10、n∈N*,n≥2}.再证{n

11、n

12、∈N*，n≥2}M.任取x∈{n

13、n∈N*,n≥2},即x是大于1的正整数.下面分两种情形：当x=2k(k∈N*)时，由于7

14、100

15、，于是取a=10011001…1001，k个1001则7

16、a，且f(a)=2k,所以x∈M.当x=2k+1(k∈N*)时，由于7

17、100

18、，7

19、21，于是取b=10011001…100121，k－1个1001则7

20、b，且f(b)=2(k－1)+3=2k+1,故x∈M,故x∈M.所以{n

21、n∈N*,n≥2}M.因此M={n

22、n∈N*,n≥2}.【评述】此类题目的证明严谨、科学.例3设正实

23、数x,y满足xy=1，求函数f(x,y)=的值域.（其中（[x]表示不超过x的最大整数）【思路分析】由x、y的对称性，不妨设x≥y，则有x2≥1，必分x=1与x>1两种情况讨论.【详解】不妨设x≥y，则x2≥1,x≥1.有下面两种情形：（1）当x=1时，y=1，此时f(x,y)=.（2）当x>1时，设[x]=n，{x}=x－[x]=α，则x=n+α,0≤α<1.于是，y=<1，故[y]=0..由函数g(x)=x+在x≥1时是递增的和0≤α<1得综上所述，f(x,y)的值域为.【评述】本例表面上为“二元函数”实为一元函

24、数，因为y=，消去y后就是关于x的函数了.II．函数性质的应用在数学竞赛中，常见的应用函数性质的题目有以下几类：1．求值、求最值例4设函数f(x)是定义在R上的周期为3的奇函数，且f(1)=2,求f(2)+f(3)的值.【思路分析】要抓住函数为奇函数且周期为3进行变形求值.【略解】对定义在R上的奇函数，必有f(0)=－f(0),即f(0)=0.