现代信号处理1

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1、现代信号处理Assignment4姓名：饶康班级：研1305学号：2013020141题目1：考虑如下图权值线性组合器，输入端引入随机信号，其平均功率为；假设信号随机抽样相互独立，取。编程实现：（1）画出LMS算法性能曲面等值线，要求等值线权值间隔不超过1，标明坐标值、均方误差值和性能最小点位置及最小均方误差值，分别对应初始权值和绘出加权值收敛轨迹，迭代次数不小于100次；（2）计算和时学习曲线的时间常数，绘出学习曲线并在学习曲线中观测时间常数，与理论计算值比较；（3）计算和时的失调并比较；（4）分析比较μ的大小

2、对自适应滤波的影响。要求：写出实验报告：包括原理、方法和结果，并附源代码（加必要的注释）和仿真数据结果。解：（1）LMS自适应滤波器是使滤波器的输出信号与期望响应之间的误差的均方值为最小，因此称为最小均方（LMS）自适应滤波器。如题图，LMS自适应滤波器是有线性组合器构成，输入为x(k)和x(k-1)，输出y(k)是这些输入加权后的线性组合，即yk=w0xk+w1xk-1(1)定义权向量为W=[w0w1]T，输入信号向量为X=[xkxk-1]，题图中dk代表期望响应，定义误差信号为εk=dk-yk2写成向量形式为

3、εk=dk-XW(3)误差平方为εk2=d2k-2dkXW+WTXTXW(4)上式两边去数学期望后，得均方误差为Eεk2=Ed2(k)-2EdkXW+WTEXTXW(5)互相关函数行向量定义为RdxT:RdxT=Ed(k)X(6)和自相关函数矩阵Rxx=EXTX(7)则均方误差可表述为Eεk2=Ed2(k)-2RdxTW+WTRxxW(8)这表明，均方误差是权系数向量W的二次函数，它是一个中间向上凹的抛物型曲面，是具有唯一最小值的函数。调节权系数使均方误差为最小，相当于沿抛物形曲面下降找最小值。将(8)式对权系数

4、W求导，得到均方误差函数的梯度为∇k=-2Rdx+2RxxW(9)另∇k=0，即可求出最佳权系数向量Wopt=Rxx-1Rdx(10)得到最优权值即可求最小均方误差，带入（8）式可得Eεk2min=Ed2(k)-RdxTWopt(11)以上计算最优权值的过程需要知道自相关和互相关，还要对矩阵求逆，还是比较麻烦的，而WidrowandHoffLMS算法给出了一种用迭代方法求最优权值近似值的方法，权值迭代公式如下Wk+1=Wk+2μεkXT(12)其中μ是一个控制收敛速度与稳定性的常数，称之为收敛因子（或增益常数）。

5、有了迭代公式就可以在给定初始权值以及收敛因子的条件下求出最优权值的近似值。以上算法使用matlab实现，初始权值选择W=00，μ=0.1，进行迭代运算200次，得到权值迭代轨迹，然后改变初始权值W=4-10，μ=0.05，再次进行迭代并再次得到权值轨迹。接下来计算题中系统的性能曲面，输入为单频正弦波，求其自相关可等效成整周期内在时间上求平均，即Exkxk=1Nk=0N-1(sin2πkN)2+Erk2=0.51Exkxk-1=1Nk=0N-1sin2πkNsin2π(k-1)N+Erkrk-1=0.5cos⁡(π

6、/8)再计算出期望信号和输入信号的互相关值，Edkxk=1Nk=0N-12cos2πkNsin2πkN=0Edkxk-1=1Nk=0N-12cos2πkNsin2π(k-1)N=-sin⁡(π/8)则可写出相关矩阵如下Rxx=0.510.5cos⁡(π/8)0.5cos⁡(π/8)0.51Rdx=0-sin⁡(π/8)最优权值为W*=Rxx-1Rdxw0*w1*=0.510.5cos⁡(π/8)0.5cos⁡(π/8)0.510-sin⁡(π/8)=3.784-4.178接着计算最小均方误差为ξmin=Ed2(k

7、)-RdxTW*=0.4011那么性能函数为MSE=ξ=ξmin+W-W*TRxx(W-W*)用matlab计算该函数并画出性能曲面的等值线，在图上标注好均方误差、性能最小点以及最小均方误差，然后将上述迭代的权值再画入图中得到如图1结果图1性能曲面等值线图（2）学习曲线的时间常数定义为τmse=14μ(13)当收敛因子分别为0.05和0.1时计算时间常数，见图3。而学习曲线定义为均方误差MSE对应迭代次数的曲线，采用初始权值为W=00，收敛因子μ分别为0.1和0.05时计算学习曲线MSE(k)，并分别绘于图2(a

8、)和图2(b)中如下图2(a)μ=0.05时学习曲线图2(b)μ=0.1时学习曲线从图上可以看出μ越小学习曲线收敛的越慢，也就是说学习曲线的时间常数越小，这与理论计算结果是一致的。（3）失调定义为M=μtrRxx(14)其中tr(Rxx)是自相关矩阵的迹，即矩阵主对角线元素的和。分别对应收敛因子μ为0.05和0.1时计算出失调如图3图3时间常数和失调的计算（4）μ的取值会