现代信号处理笔记

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1、第一章随机信号本章首先介绍了随机信号的基本概念、协方差函数和功率谱密度的定义与性质。接着，从独立性、不相关性、正交性和相干性这四种基本统计关系出发，讨论了如何进行两个随机信号之间的比较与识别。随后，介绍了正交信号变换、双正交信号变换和非正交信号变换的基本理论。最后，以被随机信号激励的线性关系为对象，分析了系统输出与输入之间的统计量的关系，对两个随机信号之间的关系作了更深一步的描述。一、信号分类连续时间信号s(t)-∞﹤t﹤∞离散时间信号s(k)k为整数确定性信号（按某函数取值，每时刻值可知）随机信号（每时刻取值未知）：⑴取值是随机

2、的（不能确切已知）⑵取值服从概率分布规律（统计特性确定，但未知）二、两个随机信号的统计量1、互相关函数Rxy（τ）=E{x(t)y*(t-τ)}互相关函数描述的是两个信号共同的部分（特征）。2、互相关系数3、互协方差函数4、功率谱：协方差函数的Fourier变换三、两个随机信号的统计关系1、统计独立2、统计不相关若Cxy（）=0，，则称x(t)和y(t)统计不相关。3、正交若Rxy()=E{x(t)y*(t-)}=0,,则称随机信号x(t)和y(t)正交，记作x(t)⊥y(t)。四、信号变换1、正交信号变换(1）Фk（t）=gk(

3、t)（2）2、双正交信号变换（1）（2）3、非正交信号变换（1）（2）第二章参数估计理论本章的核心是参数估计的基本理论与方法。首先，我们讨论了参数估计子几种最基本的性能：无偏估计、渐进无偏估计和有效估计。然后，又从最优估计子的评价标准出发，介绍了品质因数的方法——Fisher信息以及方差的下界——Crazner-Rao不等式。在随后的几节中，则依次介绍了Baves估计、最大似然估计、线性均方估计和最小二乘估计几种重要的参数估计方法。一、Fisher信息与Cramer-Rao下界定义：品质函数V(x)的方差称为Fisher信息：定理

4、：假设是的无偏估计，则取等号的充要条件：，此时称为“Cramer-Rao下界”。二、Bayes估计：使风险函数最小化的参数估计1、损失函数（代价函数）绝对损失函数（标量参数）（向量参数）二次型损失函数（标量参数）（向量参数）2、风险函数：损失函数的数学期望三、结论1、采用均方误差来衡量参数估计的优劣。2、判断无偏估计是否最好：使用Fisher信息，满足Cramer-Rao不等式。3、Bayes估计关键——选什么风险函数。4、最大似然估计需要知道似然函数形式。5、线性均方估计——正交原理。6、最小二乘估计（若e零均值、同方差，则最小

5、二乘法是最优的，否则要用加权最小二乘法）。第三章现代谱估计本章从不同的角度介绍了现代功率谱估计的一些主要的方法：1．ARMA谱估计是以信号的差分模型为基础的现代普估计。2．Burg的最大熵谱估计是来源于信息论的现代谱估计，他在不同的约束条件下，分别与AR谱估计和ARMA谱估计等价。3．Pisarenko谐波分解是一种以谐波信号为特定的对象的谱估计方法，他将谐波频率的估计转化为信号相关矩阵的特征值分解。4．扩展Prony方法是一种利用复谐波模型拟合幅信号的方法。5．MUSIC方法是一种估计信号空间参数的现代谱估计方法，它将功率谱推广

6、为空间谱，是最早问世的子空间方法。6．ESPRIT方法是一种估计信号空间参数的旋转不变技术，虽然未使用任何谱的概念，但却可以达到谐波频率估计的目的，其基本思想是将谐波频率的估计转变为矩阵束的广义特征值分解。一、MUSIC算法步骤：1、计算样本自相关矩阵Rxx的特征值分解，得到其主特征值λ1，…，λp和次特征值σ2，并存储主特征向量s1，…，sp。2、利用公式计算MUSIC谱P(ωt)，。3、找出P(ω)的p个峰值，他们就是待求的MUSIC估计值ω1，…，ωp。二、TLS-ESPRIT算法1、进行矩阵Rxx的特征值分解。2、利用最小

7、特征值σ2计算Cxx＝Rxx－σ2I和Cxy＝Rxy－σ2Z。3、作矩阵Cxx的奇异值分解，确定其有效秩，并存储与p个主奇异值对应的Σ1，U1和V1。4、计算U1HCxyV1。5、求矩阵束{Σ1，U1HCxyV1}的广义特征值分解，得到单位圆上的广义特征值，它们直接给出谐波频率。三、Prony谱线估计算法1、利用式计算，i,j=0,1,…,pe，并构造矩阵Re。2、利用SVD-TLS算法确定Re的有效秩p和系数。3、求特征多项式的共轭根对，i=1,…,p。4、计算p个谐波的频率第四章自适应滤波器本章核心内容是滤波器的优化设计及其自

8、适应实现。首先，从三种角度介绍了不同的滤波器：1．从信噪比最大原则出发，讲述了匹配滤波器。2．从最小均方误差准则出发，推导了Wiener滤波器。3．从状态空间模型出发，介绍了Kalman滤波器及其自适应算法。然后，围绕Wiener滤波器的自适应实现